Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x^{3} - 2}{\sec (4 x^{2})}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{3} - 2$ và $g (x) = \sec (4 x^{2})$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Bước 2.3

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Bước 2.4

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 4 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x^{2}$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\sec (u)$ đối với $u$ là $\sec (u) \tan (u)$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{2}$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Bước 4

Đưa $\sec (4 x^{2})$ ra ngoài $\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $\sec (4 x^{2})$ ra ngoài $- (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) + \sec (4 x^{2}) (- (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Bước 4.2

Đưa $\sec (4 x^{2})$ ra ngoài $\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) + \sec (4 x^{2}) (- (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Bước 5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $\sec (4 x^{2})$ ra ngoài $\sec^{2} (4 x^{2})$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec (4 x^{2}) \sec (4 x^{2})}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec (4 x^{2}) \sec (4 x^{2})}$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec (4 x^{2})}$

Bước 6

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{\sec (4 x^{2})}$

Bước 7

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{\sec (4 x^{2})}$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (2 x))}{\sec (4 x^{2})}$

Bước 9

Nhân $2$ với $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (x))}{\sec (4 x^{2})}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 x^{2} + (- 8 x^{3} - 8 \cdot - 2) (\tan (4 x^{2}) (x))}{\sec (4 x^{2})}$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{3} (\tan (4 x^{2}) x) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Bước 10.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.1

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x \cdot x^{3}) \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Bước 10.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x^{1} x^{3}) \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Bước 10.3.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{1 + 3} \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Bước 10.3.1.1.3

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Bước 10.3.1.2

Nhân $- 8$ với $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 \tan (4 x^{2}) x}{\sec (4 x^{2})}$

Bước 10.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 \tan (4 x^{2}) x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 x \tan (4 x^{2})}{\sec (4 x^{2})}$