Giải tích Ví dụ

$y = \frac{500}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $500$ và $12 + 4 e^{- 0.5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $500$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}]$

Bước 1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 e^{- 0.5 x}}]$

Bước 1.1.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 e^{- 0.5 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})}]$

Bước 1.1.2.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

Bước 1.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

Bước 1.1.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d x} [\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

Bước 1.2

Vì $125$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}$ đối với $x$ là $125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$ .

$125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

Bước 1.3

Viết lại $\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}$ ở dạng ${(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}$ .

$125 \frac{d}{d x} [{(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 3 + e^{- 0.5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 + e^{- 0.5 x}$ .

$125 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$125 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 + e^{- 0.5 x}$ .

$125 (- {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $125$ .

$- 125 ({(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + e^{- 0.5 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Bước 3.3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 0.5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 0.5 x$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 0.5 x$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 0.5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 0.5 x$ đối với $x$ là $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.2

Nhân $- 0.5$ với $- 125$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \cdot 1)$

Bước 5.4

Nhân $e^{- 0.5 x}$ với $1$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại các thừa số của $62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$ .

$62.5 e^{- 0.5 x} {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2}$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$

Bước 6.3

Nhân $62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp $\frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ và $62.5$ .

$\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}} e^{- 0.5 x}$

Bước 6.3.2

Kết hợp $\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ và $e^{- 0.5 x}$ .

$\frac{62.5 e^{- 0.5 x}}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$