Giải tích Ví dụ

$y = \frac{5 x}{\log_{5} (x)}$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5 x}{\log_{5} (x)}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{5} (x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{5} (x)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \log_{5} (x)$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)]}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)]}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Bước 3.2

Nhân $\log_{5} (x)$ với $1$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) - x \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)]}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Bước 4

Đạo hàm của $\log_{5} (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x \ln (5)}$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) - x \frac{1}{x \ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{x \ln (5)}$ và $x$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) - \frac{x}{x \ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \frac{\log_{5} (x) - \frac{x}{x \ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$5 \frac{\log_{5} (x) - \frac{1}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Bước 5.3

Kết hợp $5$ và $\frac{\log_{5} (x) - \frac{1}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$ .

$\frac{5 (\log_{5} (x) - \frac{1}{\ln (5)})}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 \log_{5} (x) + 5 (- \frac{1}{\ln (5)})}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn $5 \log_{5} (x)$ bằng cách di chuyển $5$ trong logarit.

$\frac{\log_{5} (x^{5}) + 5 (- \frac{1}{\ln (5)})}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Bước 6.2.2

Nhân $5 (- \frac{1}{\ln (5)})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{\log_{5} (x^{5}) - 5 \frac{1}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Bước 6.2.2.2

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x^{5}) + \frac{- 5}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Bước 6.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\log_{5} (x^{5}) - \frac{5}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$