Giải tích Ví dụ

$y = x^{\frac{1}{x}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{x}})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Viết lại $x^{\frac{1}{x}}$ ở dạng $e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}]$

Bước 3.1.2

Khai triển $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{x}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (x)}]$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (x)}{x}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.5

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 3.6.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 3.6.4.2

Kết hợp $e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ và $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} \cdot 1 + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

Bước 3.7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Nhân $e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ với $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

Bước 3.7.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} - e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 3.7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$