Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt[3]{15 x^{2}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{15 x^{2}}$ ở dạng ${(15 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = {(15 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(15 x^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $15$ ra ngoài $15 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(15 (x^{2}))}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 4.1.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $15 (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [15^{\frac{1}{3}} {(x^{2})}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 4.1.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [15^{\frac{1}{3}} x^{2 (\frac{1}{3})}]$

Bước 4.1.2.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [15^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 4.2

Vì $15^{\frac{1}{3}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $15^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $15^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$15^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Bước 4.7.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Bước 4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Bước 4.9

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$15^{\frac{1}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 4.10

Kết hợp $15^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{15^{\frac{1}{3}} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Bước 4.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $15^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 4.11.2

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$