Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{\sin^{2} (3 x) + x}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\sin^{2} (3 x) + x}$ ở dạng ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \sin^{2} (3 x) + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin^{2} (3 x) + x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin^{2} (3 x) + x$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Bước 4.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Bước 4.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Bước 4.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Bước 4.6

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Bước 4.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Bước 4.6.2.2

Di chuyển ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Bước 4.6.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin^{2} (3 x) + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.8.2

Đạo hàm của $\sin (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $3 x$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.9.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.9.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.9.4

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.9.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1)$

Bước 4.9.6

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1)$ .

$(6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) \frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) (\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) (\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}})$