Giải tích Ví dụ

$y = \ln (\arctan (2 x^{3}))$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\arctan (2 x^{3})))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \arctan (2 x^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = 2 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\arctan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {(2 x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {(2 (x^{3}))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Bước 3.3.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x^{3})$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 2^{2} {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Bước 3.3.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Bước 3.3.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 x^{3 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Bước 3.3.2.1.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 x^{6}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Bước 3.3.2.2

Nhân $\frac{1}{1 + 4 x^{6}}$ với $\frac{1}{\arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Bước 3.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.3.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} (3 x^{2})$

Bước 3.3.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} x^{2}$

Bước 3.3.6.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} x^{2}$

Bước 3.3.6.3

Kết hợp $\frac{6}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ và $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{6 x^{2}}{1 \arctan (2 x^{3}) + 4 x^{6} \arctan (2 x^{3})}$

Bước 3.4.2

Nhân $\arctan (2 x^{3})$ với $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) + 4 x^{6} \arctan (2 x^{3})}$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{6 x^{2}}{4 x^{6} \arctan (2 x^{3}) + \arctan (2 x^{3})}$

Bước 3.4.4

Đưa $\arctan (2 x^{3})$ ra ngoài $4 x^{6} \arctan (2 x^{3}) + \arctan (2 x^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Đưa $\arctan (2 x^{3})$ ra ngoài $4 x^{6} \arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3})}$

Bước 3.4.4.2

Nhân với $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3}) \cdot 1}$

Bước 3.4.4.3

Đưa $\arctan (2 x^{3})$ ra ngoài $\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3}) \cdot 1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$