Giải tích Ví dụ

$z = (1 - t) {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (z) = \frac{d}{d t} ((1 - t) {(9 + t^{2})}^{- 1})$

Bước 2

Đạo hàm của $z$ đối với $t$ là $z'$ .

$z'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = 1 - t$ và $g (t) = {(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) \frac{d}{d t} [{(9 + t^{2})}^{- 1}] + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = 9 + t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $9 + t^{2}$ .

$(1 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$(1 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $9 + t^{2}$ .

$(1 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 + t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.3.2

Vì $9$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $9$ đối với $t$ là $0$ .

$(1 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(1 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.3.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])$

Bước 3.3.7

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Bước 3.3.8

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 3.3.9

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

Bước 3.3.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.11.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

Bước 3.3.11.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của ${(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Bước 3.3.11.3

Viết lại $- 1 {(9 + t^{2})}^{- 1}$ ở dạng $- {(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Bước 3.4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 3.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (\frac{- 2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 3.4.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(1 - t) (- \frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 3.4.3.3

Kết hợp $t$ và $\frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 3.4.3.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t$ .

$(1 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 3.4.3.5

Để viết $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 3.4.3.6

Kết hợp $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ và $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ .

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2})}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 3.4.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2}) - 1}{9 + t^{2}}$

Bước 3.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- (1 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (1 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1.1

Sắp xếp lại biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1.1.1

Sắp xếp lại $1$ và $- t$ .

$\frac{- (- t + 1) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.1.1.2

Sắp xếp lại $9$ và $t^{2}$ .

$\frac{- (- t + 1) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.1.1.3

Sắp xếp lại $9$ và $t^{2}$ .

$\frac{- (- t + 1) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (- t + 1) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- (((- t + 1) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.1.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- (((- t + 1) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (((- t + 1) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (((- t + 1) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $t^{2} + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.2.1

Đưa $t^{2} + 9$ ra ngoài $(- t + 1) (t^{2} + 9)$ .

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.2.2

Đưa $t^{2} + 9$ ra ngoài ${(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- ((- t + 1) \frac{2 t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.3

Nhân $- t + 1$ với $\frac{2 t}{t^{2} + 9}$ .

$\frac{- (\frac{(- t + 1) (2 t)}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $- t + 1$ .

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 1) t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{- (\frac{2 (- t + 1) t}{t^{2} + 9} + \frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9})}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \frac{2 (- t + 1) t + t^{2} + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.8

Viết lại $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 9}{t^{2} + 9}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 1 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.8.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.8.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.8.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.8.4.1

Nhân $t$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.8.4.1.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 2 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.8.4.1.2

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 2 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.8.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 2 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.5.8.5

Trừ $2 t^{2}$ khỏi $t^{2}$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$

Bước 3.4.7

Nhân $- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Nhân $\frac{1}{t^{2} + 9}$ với $\frac{- t^{2} + 2 t + 9}{t^{2} + 9}$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Bước 3.4.7.2

Nâng $t^{2} + 9$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{{(t^{2} + 9)}^{1} (t^{2} + 9)}$

Bước 3.4.7.3

Nâng $t^{2} + 9$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{{(t^{2} + 9)}^{1} {(t^{2} + 9)}^{1}}$

Bước 3.4.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{{(t^{2} + 9)}^{1 + 1}}$

Bước 3.4.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 3.4.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- t^{2}$ .

$- \frac{- (t^{2}) + 2 t + 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 3.4.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 t$ .

$- \frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 3.4.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (t^{2}) - (- 2 t)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) + 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 3.4.11

Viết lại $9$ ở dạng $- 1 (- 9)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 3.4.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 9)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 3.4.13

Viết lại $- (t^{2} - 2 t - 9)$ ở dạng $- 1 (t^{2} - 2 t - 9)$ .

$- \frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 3.4.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{t^{2} - 2 t - 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 3.4.15

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{t^{2} - 2 t - 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 3.4.16

Nhân $\frac{t^{2} - 2 t - 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ với $1$ .

$\frac{t^{2} - 2 t - 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$z' = \frac{t^{2} - 2 t - 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $z'$ bằng $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{d z}{d t} = \frac{t^{2} - 2 t - 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$