Giải tích Ví dụ

$y = \frac{t^{2} + 3}{t^{4} - 5 t^{2} + 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t^{2} + 3$ và $g (t) = t^{4} - 5 t^{2} + 1$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{2} + 3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Vì $3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $3$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t + 0) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $2 t$ và $0$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t^{4} - 5 t^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{4} - 5 t^{2} + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.7

Vì $- 5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 5 t^{2}$ đối với $t$ là $- 5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 5 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.9

Nhân $2$ với $- 5$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.10

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t + 0)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.11

Cộng $4 t^{3} - 10 t$ và $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 t^{4} + 2 (- 5 t^{2}) + 2 \cdot 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhân $t^{4}$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{4}) + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.1.2

Nhân $t$ với $t^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{4}) + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 t^{1 + 4} + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.1.3

Cộng $1$ và $4$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $t^{2}$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.2.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 (t \cdot t^{2})) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.2.2

Nhân $t$ với $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.2.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 (t^{1} t^{2})) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{1 + 2}) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{3}) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.3

Nhân $- 5$ với $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t + (- t^{2} - 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.6

Khai triển $(- t^{2} - 3) (4 t^{3} - 10 t)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3} - 10 t) - 3 (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.7.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{2} t^{3} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7.1.2

Nhân $t^{2}$ với $t^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.7.1.2.1

Di chuyển $t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 (t^{3} t^{2}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{3 + 2} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7.1.2.3

Cộng $3$ và $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{5} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7.1.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{2} t - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7.1.5

Nhân $t^{2}$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.7.1.5.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 (t \cdot t^{2}) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7.1.5.2

Nhân $t$ với $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.7.1.5.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 (t^{1} t^{2}) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7.1.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{1 + 2} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7.1.5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{3} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7.1.6

Nhân $- 1$ với $- 10$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7.1.7

Nhân $4$ với $- 3$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 12 t^{3} - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7.1.8

Nhân $- 10$ với $- 3$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 12 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.7.2

Trừ $12 t^{3}$ khỏi $10 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 2 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Trừ $4 t^{5}$ khỏi $2 t^{5}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 2 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.3

Trừ $2 t^{3}$ khỏi $- 10 t^{3}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 2 t + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.4

Cộng $2 t$ và $30 t$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $2 t$ ra ngoài $- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 32 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Đưa $2 t$ ra ngoài $- 2 t^{5}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) - 12 t^{3} + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.1.2

Đưa $2 t$ ra ngoài $- 12 t^{3}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2}) + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.1.3

Đưa $2 t$ ra ngoài $32 t$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2}) + 2 t (16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.1.4

Đưa $2 t$ ra ngoài $2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2})$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 6 t^{2}) + 2 t (16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.1.5

Đưa $2 t$ ra ngoài $2 t (- t^{4} - 6 t^{2}) + 2 t (16)$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 6 t^{2} + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.2

Viết lại $t^{4}$ ở dạng ${(t^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 t (- {(t^{2})}^{2} - 6 t^{2} + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.3

Giả sử $u = t^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $t^{2}$ .

$\frac{2 t (- u^{2} - 6 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.4

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ và có tổng là $b = - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1.1

Đưa $- 6$ ra ngoài $- 6 u$ .

$\frac{2 t (- u^{2} - 6 (u) + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.4.1.2

Viết lại $- 6$ ở dạng $2$ cộng $- 8$

$\frac{2 t (- u^{2} + (2 - 8) u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 t (- u^{2} + 2 u - 8 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.4.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{2 t ((- u^{2} + 2 u) - 8 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.4.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{2 t (u (- u + 2) + 8 (- u + 2))}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.4.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- u + 2$ .

$\frac{2 t ((- u + 2) (u + 8))}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{2}$ .

$\frac{2 t (- t^{2} + 2) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- t^{2}$ .

$\frac{2 t (- (t^{2}) + 2) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.7

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 t (- (t^{2}) - 1 (- 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (t^{2}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 t (- (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.9

Viết lại $- (t^{2} - 2)$ ở dạng $- 1 (t^{2} - 2)$ .

$\frac{2 t (- 1 (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{((2 t) (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$