Giải tích Ví dụ

$y = \tan (x y^{2})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (x y^{2}))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = x y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x y^{2}$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y^{2}$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Bước 3.7

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2})$

Bước 3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y') + \sec^{2} (x y^{2}) y^{2}$

Bước 3.8.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ .

$y' = 2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Bước 5.2

Trừ $2 x y y' \sec^{2} (x y^{2})$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' - 2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) = y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' - 2 x y y' \sec^{2} (x y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) = y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 x y y' \sec^{2} (x y^{2})$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 x y \sec^{2} (x y^{2})) = y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot 1 + y' (- 2 x y \sec^{2} (x y^{2}))$ .

$y' (1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2})) = y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2})) = y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ cho $1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2})$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2})) = y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ cho $1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2})$ .

$\frac{y' (1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2}))}{1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2})} = \frac{y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2})}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2}))}{1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2})} = \frac{y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2})}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2})}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{1 - 2 x y \sec^{2} (x y^{2})}$