Giải tích Ví dụ

$y - 3 y x^{2} = \cos (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y - 3 y x^{2}) = \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 3 y x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y x^{2}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 3 y x^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 y x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 y x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [y x^{2}]$ .

$y' - 3 \frac{d}{d x} [y x^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = y$ và $g (x) = x^{2}$ .

$y' - 3 (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y' - 3 (y (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$y' - 3 (y (2 x) + x^{2} y')$

Bước 2.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$y' - 3 (2 y x + x^{2} y')$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' - 3 (2 y x) - 3 (x^{2} y')$

Bước 2.4.2

Nhân $2$ với $- 3$ .

$y' - 6 y x - 3 x^{2} y'$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 6 x y - 3 x^{2} y' + y'$

Bước 3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 6 x y - 3 x^{2} y' + y' = - \sin (x)$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $6 x y$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 3 x^{2} y' + y' = - \sin (x) + 6 x y$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 3 x^{2} y' + y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- 3 x^{2} y'$ .

$y' (- 3 x^{2}) + y' = - \sin (x) + 6 x y$

Bước 5.2.2

Nâng $y'$ lên lũy thừa $1$ .

$y' (- 3 x^{2}) + y' = - \sin (x) + 6 x y$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' (- 3 x^{2}) + y' \cdot 1 = - \sin (x) + 6 x y$

Bước 5.2.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- 3 x^{2}) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 3 x^{2} + 1) = - \sin (x) + 6 x y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 3 x^{2} + 1) = - \sin (x) + 6 x y$ cho $- 3 x^{2} + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 3 x^{2} + 1) = - \sin (x) + 6 x y$ cho $- 3 x^{2} + 1$ .

$\frac{y' (- 3 x^{2} + 1)}{- 3 x^{2} + 1} = \frac{- \sin (x)}{- 3 x^{2} + 1} + \frac{6 x y}{- 3 x^{2} + 1}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3 x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- 3 x^{2} + 1)}{- 3 x^{2} + 1} = \frac{- \sin (x)}{- 3 x^{2} + 1} + \frac{6 x y}{- 3 x^{2} + 1}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- \sin (x)}{- 3 x^{2} + 1} + \frac{6 x y}{- 3 x^{2} + 1}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{\sin (x)}{- 3 x^{2} + 1} + \frac{6 x y}{- 3 x^{2} + 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (x)}{- 3 x^{2} + 1} + \frac{6 x y}{- 3 x^{2} + 1}$