Giải tích Ví dụ

$y = \sin^{2} (e^{5 x}) + \cos^{2} (e^{5 x})$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin^{2} (e^{5 x}) + \cos^{2} (e^{5 x})$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (e^{5 x})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (e^{5 x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (e^{5 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (e^{5 x})$ .

$2 \sin (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [\sin (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = e^{5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $e^{5 x}$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{5 x}$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $5 x$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ là $a^{u_{3}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $5 x$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2.6

Nhân $5$ với $1$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} \cdot 5)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2.7

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{5 x}$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (5 \cdot e^{5 x})) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 2.8

Nhân $5$ với $2$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (e^{5 x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{4}$ ở dạng $\cos (e^{5 x})$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (e^{5 x})]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ là $n {u_{4}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 u_{4} \frac{d}{d x} [\cos (e^{5 x})]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{4}$ với $\cos (e^{5 x})$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{5 x})]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = e^{5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{5}$ ở dạng $e^{5 x}$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{5}} [\cos (u_{5})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{5})$ đối với $u_{5}$ là $- \sin (u_{5})$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (u_{5}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{5}$ với $e^{5 x}$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{6}$ ở dạng $5 x$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{6}} [e^{u_{6}}] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{6}} [a^{u_{6}}]$ là $a^{u_{6}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{u_{6}} \frac{d}{d x} [5 x]))$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{6}$ với $5 x$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]))$

Bước 3.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])))$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \cdot 1)))$

Bước 3.6

Nhân $5$ với $1$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} \cdot 5))$

Bước 3.7

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{5 x}$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (5 \cdot e^{5 x}))$

Bước 3.8

Nhân $5$ với $- 1$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- 5 \sin (e^{5 x}) e^{5 x})$

Bước 3.9

Nhân $- 5$ với $2$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} - 10 \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) e^{5 x}$

Bước 4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x}$ .

$10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) - 10 \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) e^{5 x}$

Bước 4.2

Trừ $10 \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) e^{5 x}$ khỏi $10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Di chuyển $\cos (e^{5 x})$ .

$10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) - 10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$

Bước 4.2.2

Trừ $10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$ khỏi $10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$ .

$0$