Giải tích Ví dụ

$y = (1 + x - x^{2}) e^{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 1 + x - x^{2}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$(1 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x - x^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x - x^{2}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 - (2 x))$

Bước 3.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 - 2 x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} (1 - 2 x)$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 2 x)$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 2 x)$

Bước 4.3.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} + e^{x} (- 2 x)$

Bước 4.3.3

Cộng $e^{x}$ và $e^{x}$ .

$x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (- 2 x)$

Bước 4.3.4

Cộng $x e^{x}$ và $e^{x} (- 2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$x e^{x} - 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 4.3.4.2

Trừ $2 x e^{x}$ khỏi $x e^{x}$ .

$- x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{x} x - e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{x} x - e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$ .

$- x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$