Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$

Bước 1

Tìm nơi biểu thức $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ không xác định.

$x < 0, x = 4$

Bước 2

Vì $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $4$ từ phía bên trái và $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $4$ từ phía bên phải, thì $x = 4$ là một tiệm cận đứng.

$x = 4$

Bước 3

Tính $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ để tìm tiệm cận ngang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{- 4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Bước 3.2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Bước 3.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Bước 3.2.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Bước 3.2.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Bước 3.2.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Bước 3.2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Bước 3.2.4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Bước 3.3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Bước 3.4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.4.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.4.3

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.1.2

Khi $x$ tiến dần đến $\infty$ đối với các căn thức, thì giá trị sẽ trở thành $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.1.3

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.5.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.3.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.3.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.9.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.3.9.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.5

Viết lại $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.5.6

Nhân $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.6

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{\sqrt{x}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Bước 3.8

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 3.9

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Bước 3.10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Bước 3.10.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{0}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Bước 3.10.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{0}{1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Bước 3.10.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Bước 3.10.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{0}{1 - 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Bước 3.10.2.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 4 \cdot 0}$

Bước 3.10.2.3

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

Bước 3.10.2.4

Cộng $1 + 0$ và $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Bước 3.10.2.5

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{0}{1}$

Bước 3.10.3

Chia $0$ cho $1$ .

$0$

Bước 4

Liệt kê các tiệm cận ngang:

$y = 0$

Bước 5

Sử dụng phép chia đa thức để tìm các tiệm cận xiên. Vì biểu thức này chứa một dấu căn, nên không thực hiện được phép chia đa thức.

Không tìm được các tiệm cận xiên

Bước 6

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Các tiệm cận đứng: $x = 4$

Các tiệm cận ngang: $y = 0$

Không tìm được các tiệm cận xiên

Bước 7