Giải tích Ví dụ

$3 \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$ , $0 < x < 2 π$

Bước 1

Trừ $\cos^{2} (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Bước 2

Thay thế $3 \sin^{2} (x)$ bằng $3 (1 - \cos^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Bước 3.2

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Bước 4

Trừ $\cos^{2} (x)$ khỏi $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Bước 5

Sắp xếp lại đa thức.

$- 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Bước 6

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ cho $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Bước 7.2.1.2

Chia $\cos^{2} (x)$ cho $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Bước 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Bước 9

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $\sqrt{\frac{3}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Bước 9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 9.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 10

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 10.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 10.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 11

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 12

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 12.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Bước 12.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Bước 12.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 12.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 12.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 12.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.3.1

Nhân $6$ với $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Bước 12.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Bước 12.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 12.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 12.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 12.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 12.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ là $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Bước 13.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Bước 13.4

Rút gọn $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Bước 13.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Bước 13.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Bước 13.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.3.1

Nhân $6$ với $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Bước 13.4.3.2

Trừ $5 π$ khỏi $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Bước 13.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 13.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15

Hợp nhất các đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Hợp nhất $\frac{π}{6} + 2 π n$ và $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ để $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15.2

Hợp nhất $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ và $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ để $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16

Tìm các giá trị của $n$ tạo ra một giá trị trong khoảng $(0, 2 π)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $(0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$\frac{π}{6} + π (0)$

Bước 16.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.2.1

Nhân $π$ với $0$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Bước 16.1.2.2

Cộng $\frac{π}{6}$ và $0$ .

$\frac{π}{6}$

Bước 16.1.3

Khoảng $(0, 2 π)$ chứa $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Bước 16.2

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $(0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (0)$

Bước 16.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.1

Nhân $π$ với $0$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Bước 16.2.2.2

Cộng $\frac{5 π}{6}$ và $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Bước 16.2.3

Khoảng $(0, 2 π)$ chứa $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Bước 16.3

Điền $1$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $(0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Thay vào $1$ cho $n$ .

$\frac{π}{6} + π (1)$

Bước 16.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.2.1

Nhân $π$ với $1$ .

$\frac{π}{6} + π$

Bước 16.3.2.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Bước 16.3.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.2.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Bước 16.3.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

Bước 16.3.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.2.4.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

Bước 16.3.2.4.2

Cộng $π$ và $6 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Bước 16.3.3

Khoảng $(0, 2 π)$ chứa $\frac{7 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Bước 16.4

Điền $1$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $(0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Thay vào $1$ cho $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (1)$

Bước 16.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.2.1

Nhân $π$ với $1$ .

$\frac{5 π}{6} + π$

Bước 16.4.2.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Bước 16.4.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.2.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Bước 16.4.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 π + π \cdot 6}{6}$

Bước 16.4.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.2.4.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{5 π + 6 \cdot π}{6}$

Bước 16.4.2.4.2

Cộng $5 π$ và $6 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Bước 16.4.3

Khoảng $(0, 2 π)$ chứa $\frac{11 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$