Giải tích Ví dụ

$y = - x^{2} - 5 x + 6$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Hoàn thành bình phương cho $- x^{2} - 5 x + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = - 5$

$c = 6$

Bước 1.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$d = \frac{- 5}{- 2}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$d = \frac{5}{2}$

Bước 1.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 6 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 6 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 6 - \frac{25}{- 4}$

Bước 1.1.1.4.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = 6 - - \frac{25}{4}$

Bước 1.1.1.4.2.1.4

Nhân $- - \frac{25}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e = 6 + 1 (\frac{25}{4})$

Bước 1.1.1.4.2.1.4.2

Nhân $\frac{25}{4}$ với $1$ .

$e = 6 + \frac{25}{4}$

Bước 1.1.1.4.2.2

Để viết $6$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$e = 6 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Bước 1.1.1.4.2.3

Kết hợp $6$ và $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Bước 1.1.1.4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e = \frac{6 \cdot 4 + 25}{4}$

Bước 1.1.1.4.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.5.1

Nhân $6$ với $4$ .

$e = \frac{24 + 25}{4}$

Bước 1.1.1.4.2.5.2

Cộng $24$ và $25$ .

$e = \frac{49}{4}$

Bước 1.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$

Bước 1.1.2

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = - 1$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{49}{4}$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ âm, nên parabol quay mặt lõm xuống dưới.

Quay mặt lõm xuống

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, \frac{49}{4})$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.5.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{4}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- \frac{5}{2}, 12)$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = - \frac{5}{2}$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = \frac{25}{2}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(- \frac{5}{2}, \frac{49}{4})$

Tiêu điểm: $(- \frac{5}{2}, 12)$

Trục đối xứng: $x = - \frac{5}{2}$

Đường chuẩn: $y = \frac{25}{2}$

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(- \frac{5}{2}, \frac{49}{4})$

Tiêu điểm: $(- \frac{5}{2}, 12)$

Trục đối xứng: $x = - \frac{5}{2}$

Đường chuẩn: $y = \frac{25}{2}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 3$ trong biểu thức.

$f (- 3) = - {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 6$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 - 5 \cdot - 3 + 6$

Bước 2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $9$ .

$f (- 3) = - 9 - 5 \cdot - 3 + 6$

Bước 2.2.1.3

Nhân $- 5$ với $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 15 + 6$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Cộng $- 9$ và $15$ .

$f (- 3) = 6 + 6$

Bước 2.2.2.2

Cộng $6$ và $6$ .

$f (- 3) = 12$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $12$ .

$12$

Bước 2.3

Giá trị $y$ tại $x = - 3$ là $12$ .

$y = 12$

Bước 2.4

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f (- 4) = - {(- 4)}^{2} - 5 \cdot - 4 + 6$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 4) = - 1 \cdot 16 - 5 \cdot - 4 + 6$

Bước 2.5.1.2

Nhân $- 1$ với $16$ .

$f (- 4) = - 16 - 5 \cdot - 4 + 6$

Bước 2.5.1.3

Nhân $- 5$ với $- 4$ .

$f (- 4) = - 16 + 20 + 6$

Bước 2.5.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Cộng $- 16$ và $20$ .

$f (- 4) = 4 + 6$

Bước 2.5.2.2

Cộng $4$ và $6$ .

$f (- 4) = 10$

Bước 2.5.3

Câu trả lời cuối cùng là $10$ .

$10$

Bước 2.6

Giá trị $y$ tại $x = - 4$ là $10$ .

$y = 10$

Bước 2.7

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 6$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 6$

Bước 2.8.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} - 5 \cdot - 1 + 6$

Bước 2.8.1.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 6$

Bước 2.8.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 1) = - 1 - 5 \cdot - 1 + 6$

Bước 2.8.1.3

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 5 + 6$

Bước 2.8.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Cộng $- 1$ và $5$ .

$f (- 1) = 4 + 6$

Bước 2.8.2.2

Cộng $4$ và $6$ .

$f (- 1) = 10$

Bước 2.8.3

Câu trả lời cuối cùng là $10$ .

$10$

Bước 2.9

Giá trị $y$ tại $x = - 1$ là $10$ .

$y = 10$

Bước 2.10

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = - {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6$

Bước 2.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = - 0 - 5 \cdot 0 + 6$

Bước 2.11.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 6$

Bước 2.11.1.3

Nhân $- 5$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Bước 2.11.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Bước 2.11.2.2

Cộng $0$ và $6$ .

$f (0) = 6$

Bước 2.11.3

Câu trả lời cuối cùng là $6$ .

$6$

Bước 2.12

Giá trị $y$ tại $x = 0$ là $6$ .

$y = 6$

Bước 2.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 10 \\ - 3 & 12 \\ - \frac{5}{2} & \frac{49}{4} \\ - 1 & 10 \\ 0 & 6 \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(- \frac{5}{2}, \frac{49}{4})$

Tiêu điểm: $(- \frac{5}{2}, 12)$

Trục đối xứng: $x = - \frac{5}{2}$

Đường chuẩn: $y = \frac{25}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 10 \\ - 3 & 12 \\ - \frac{5}{2} & \frac{49}{4} \\ - 1 & 10 \\ 0 & 6 \end{array}$

Bước 4