Giải tích Ví dụ

$y = 14 x - 2 x^{2}$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sắp xếp lại $14 x$ và $- 2 x^{2}$ .

$y = - 2 x^{2} + 14 x$

Bước 1.1.2

Hoàn thành bình phương cho $- 2 x^{2} + 14 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 2$

$b = 14$

$c = 0$

Bước 1.1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{14}{2 \cdot - 2}$

Bước 1.1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $14$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

Bước 1.1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 (- 2)}$

Bước 1.1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

Bước 1.1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{7}{- 2}$

Bước 1.1.2.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{7}{2}$

Bước 1.1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{14^{2}}{4 \cdot - 2}$

Bước 1.1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.2.1.1

Nâng $14$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot - 2}$

Bước 1.1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$e = 0 - \frac{196}{- 8}$

Bước 1.1.2.4.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $196$ và $- 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.2.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $196$ .

$e = 0 - \frac{4 (49)}{- 8}$

Bước 1.1.2.4.2.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.2.1.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 8$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot - 2}$

Bước 1.1.2.4.2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot - 2}$

Bước 1.1.2.4.2.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{49}{- 2}$

Bước 1.1.2.4.2.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = 0 - - \frac{49}{2}$

Bước 1.1.2.4.2.1.5

Nhân $- - \frac{49}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.2.1.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{49}{2})$

Bước 1.1.2.4.2.1.5.2

Nhân $\frac{49}{2}$ với $1$ .

$e = 0 + \frac{49}{2}$

Bước 1.1.2.4.2.2

Cộng $0$ và $\frac{49}{2}$ .

$e = \frac{49}{2}$

Bước 1.1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$ .

$- 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$

Bước 1.1.3

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = - 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = - 2$

$h = \frac{7}{2}$

$k = \frac{49}{2}$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ âm, nên parabol quay mặt lõm xuống dưới.

Quay mặt lõm xuống

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Bước 1.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Bước 1.5.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{8}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = \frac{7}{2}$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = \frac{197}{8}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Tiêu điểm: $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Trục đối xứng: $x = \frac{7}{2}$

Đường chuẩn: $y = \frac{197}{8}$

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Tiêu điểm: $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Trục đối xứng: $x = \frac{7}{2}$

Đường chuẩn: $y = \frac{197}{8}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = - 2 {(3)}^{2} + 14 (3)$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (3) = - 2 \cdot 9 + 14 (3)$

Bước 2.2.1.2

Nhân $- 2$ với $9$ .

$f (3) = - 18 + 14 (3)$

Bước 2.2.1.3

Nhân $14$ với $3$ .

$f (3) = - 18 + 42$

Bước 2.2.2

Cộng $- 18$ và $42$ .

$f (3) = 24$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $24$ .

$24$

Bước 2.3

Giá trị $y$ tại $x = 3$ là $24$ .

$y = 24$

Bước 2.4

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = - 2 {(2)}^{2} + 14 (2)$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (2) = - 2 \cdot 4 + 14 (2)$

Bước 2.5.1.2

Nhân $- 2$ với $4$ .

$f (2) = - 8 + 14 (2)$

Bước 2.5.1.3

Nhân $14$ với $2$ .

$f (2) = - 8 + 28$

Bước 2.5.2

Cộng $- 8$ và $28$ .

$f (2) = 20$

Bước 2.5.3

Câu trả lời cuối cùng là $20$ .

$20$

Bước 2.6

Giá trị $y$ tại $x = 2$ là $20$ .

$y = 20$

Bước 2.7

Thay thế biến $x$ bằng $5$ trong biểu thức.

$f (5) = - 2 {(5)}^{2} + 14 (5)$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f (5) = - 2 \cdot 25 + 14 (5)$

Bước 2.8.1.2

Nhân $- 2$ với $25$ .

$f (5) = - 50 + 14 (5)$

Bước 2.8.1.3

Nhân $14$ với $5$ .

$f (5) = - 50 + 70$

Bước 2.8.2

Cộng $- 50$ và $70$ .

$f (5) = 20$

Bước 2.8.3

Câu trả lời cuối cùng là $20$ .

$20$

Bước 2.9

Giá trị $y$ tại $x = 5$ là $20$ .

$y = 20$

Bước 2.10

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f (6) = - 2 {(6)}^{2} + 14 (6)$

Bước 2.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$f (6) = - 2 \cdot 36 + 14 (6)$

Bước 2.11.1.2

Nhân $- 2$ với $36$ .

$f (6) = - 72 + 14 (6)$

Bước 2.11.1.3

Nhân $14$ với $6$ .

$f (6) = - 72 + 84$

Bước 2.11.2

Cộng $- 72$ và $84$ .

$f (6) = 12$

Bước 2.11.3

Câu trả lời cuối cùng là $12$ .

$12$

Bước 2.12

Giá trị $y$ tại $x = 6$ là $12$ .

$y = 12$

Bước 2.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 20 \\ 3 & 24 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{2} \\ 5 & 20 \\ 6 & 12 \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Tiêu điểm: $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Trục đối xứng: $x = \frac{7}{2}$

Đường chuẩn: $y = \frac{197}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 20 \\ 3 & 24 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{2} \\ 5 & 20 \\ 6 & 12 \end{array}$

Bước 4