Giải tích Ví dụ

$- 4 x^{2} - y^{2} + 6 x + 2 y - y + 16 - 10 x - 27 + 3 y + 5 - 3 y^{2} + 5 x^{2} - y^{2} = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Bước 1

Vì $y$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 = x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6$

Bước 2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} = - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6$

Bước 2.2

Cộng $5 y^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} = - 4 x + 4 y - 6$

Bước 2.3

Cộng $4 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x = 4 y - 6$

Bước 2.4

Trừ $4 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Bước 2.5

Trừ $30$ khỏi $9$ .

$- 6 y^{2} - 4 y - 21 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Bước 2.6

Cộng $- 6 y^{2}$ và $5 y^{2}$ .

$- y^{2} - 4 y - 21 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Bước 2.7

Cộng $- 4 y$ và $y$ .

$- y^{2} - 3 y - 21 + 10 x + 17 - 3 y - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Bước 2.8

Trừ $3 y$ khỏi $- 3 y$ .

$- y^{2} - 6 y - 21 + 10 x + 17 - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Bước 2.9

Trừ $4 y$ khỏi $- 6 y$ .

$- y^{2} - 10 y - 21 + 10 x + 17 - 60 - x^{2} + 4 x = - 6$

Bước 2.10

Cộng $- 21$ và $17$ .

$- y^{2} - 10 y + 10 x - 4 - 60 - x^{2} + 4 x = - 6$

Bước 2.11

Cộng $10 x$ và $4 x$ .

$- y^{2} - 10 y + 14 x - 4 - 60 - x^{2} = - 6$

Bước 2.12

Trừ $60$ khỏi $- 4$ .

$- y^{2} - 10 y + 14 x - 64 - x^{2} = - 6$

Bước 2.13

Di chuyển $- 64$ .

$- y^{2} - 10 y + 14 x - x^{2} - 64 = - 6$

Bước 2.14

Di chuyển $- 10 y$ .

$- y^{2} + 14 x - x^{2} - 10 y - 64 = - 6$

Bước 2.15

Di chuyển $14 x$ .

$- y^{2} - x^{2} + 14 x - 10 y - 64 = - 6$

Bước 2.16

Sắp xếp lại $- y^{2}$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y - 64 = - 6$

Bước 3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa biến sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cộng $64$ cho cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y = - 6 + 64$

Bước 3.2

Cộng $- 6$ và $64$ .

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y = 58$

Bước 4

Chia cả hai vế của phương trình cho $- 1$ .

$x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} - 14 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 14$

$c = 0$

Bước 5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 14}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 14$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 14$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)}$

Bước 5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 7}{1}$

Bước 5.3.2.2.4

Chia $- 7$ cho $1$ .

$d = - 7$

Bước 5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 14)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nâng $- 14$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot 1}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{196}{4}$

Bước 5.4.2.1.3

Chia $196$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 49$

Bước 5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $49$ .

$e = 0 - 49$

Bước 5.4.2.2

Trừ $49$ khỏi $0$ .

$e = - 49$

Bước 5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x - 7)}^{2} - 49$ .

${(x - 7)}^{2} - 49$

Bước 6

Thay ${(x - 7)}^{2} - 49$ cho $x^{2} - 14 x$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$ .

${(x - 7)}^{2} - 49 + y^{2} + 10 y = - 58$

Bước 7

Di chuyển $- 49$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $49$ vào cả hai vế.

${(x - 7)}^{2} + y^{2} + 10 y = - 58 + 49$

Bước 8

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} + 10 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Bước 8.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 8.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Bước 8.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Bước 8.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Bước 8.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Bước 8.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{5}{1}$

Bước 8.3.2.2.4

Chia $5$ cho $1$ .

$d = 5$

Bước 8.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 8.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Bước 8.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Bước 8.4.2.1.3

Chia $100$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Bước 8.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $25$ .

$e = 0 - 25$

Bước 8.4.2.2

Trừ $25$ khỏi $0$ .

$e = - 25$

Bước 8.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y + 5)}^{2} - 25$ .

${(y + 5)}^{2} - 25$

Bước 9

Thay ${(y + 5)}^{2} - 25$ cho $y^{2} + 10 y$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} - 25 = - 58 + 49$

Bước 10

Di chuyển $- 25$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $25$ vào cả hai vế.

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 58 + 49 + 25$

Bước 11

Rút gọn $- 58 + 49 + 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $- 58$ và $49$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 9 + 25$

Bước 11.2

Cộng $- 9$ và $25$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 16$

Bước 12

Đây là dạng của một đường tròn. Sử dụng dạng này để xác định tâm và bán kính của đường tròn.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Bước 13

Tương ứng các giá trị trong đường tròn này với dạng chính tắc. Biến $r$ là bán kính của đường tròn, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$r = 4$

$h = 7$

$k = - 5$

Bước 14

Tìm được tâm của đường tròn tại $(h, k)$ .

Tâm: $(7, - 5)$

Bước 15

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một đường tròn.

Tâm: $(7, - 5)$

Bán kính: $4$

Bước 16