Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x - 1$ và $g (x) = x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.2

Nhân $x^{2} + 4$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.8.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3.1.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3.2

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3.8

Viết lại $4$ ở dạng $- 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3.10

Viết lại $- (x^{2} - 2 x - 4)$ ở dạng $- 1 (x^{2} - 2 x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.3.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = - 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.3

Cộng $4$ và $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 2.3.3.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Bước 2.3.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.3

Cộng $4$ và $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 2.3.4.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Bước 2.3.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Bước 2.3.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.3

Cộng $4$ và $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 2.3.5.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Bước 2.3.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Bước 2.3.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 1 + \sqrt{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $1 + \sqrt{5}$ bằng $x$ .

$\frac{(1 + \sqrt{5}) - 1}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0 + \sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Bước 4.1.2.1.2

Cộng $0$ và $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Viết lại ${(1 + \sqrt{5})}^{2}$ ở dạng $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ .

$\frac{\sqrt{5}}{(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Bước 4.1.2.2.2

Khai triển $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{5}}{1 (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Bước 4.1.2.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Bước 4.1.2.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Bước 4.1.2.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Bước 4.1.2.2.3.1.2

Nhân $\sqrt{5}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Bước 4.1.2.2.3.1.3

Nhân $\sqrt{5}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Bước 4.1.2.2.3.1.4

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5} + 4}$

Bước 4.1.2.2.3.1.5

Nhân $5$ với $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{25} + 4}$

Bước 4.1.2.2.3.1.6

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}} + 4}$

Bước 4.1.2.2.3.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 5 + 4}$

Bước 4.1.2.2.3.2

Cộng $1$ và $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 4}$

Bước 4.1.2.2.3.3

Cộng $\sqrt{5}$ và $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5} + 4}$

Bước 4.1.2.2.4

Cộng $6$ và $4$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$

Bước 4.1.2.3

Nhân $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ với $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Bước 4.1.2.4

Nhân $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ với $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{(10 + 2 \sqrt{5}) (10 - 2 \sqrt{5})}$

Bước 4.1.2.5

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{100 - 20 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 4.1.2.6

Rút gọn.

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{80}$

Bước 4.1.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $10 - 2 \sqrt{5}$ và $80$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})$ .

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{80}$

Bước 4.1.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $80$ .

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 (40)}$

Bước 4.1.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

Bước 4.1.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{40}$

Bước 4.1.2.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

Bước 4.1.2.9

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\sqrt{5}$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

Bước 4.1.2.10

Nhân $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.10.1

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{40}$

Bước 4.1.2.10.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{40}$

Bước 4.1.2.10.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{40}$

Bước 4.1.2.10.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{40}$

Bước 4.1.2.11

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.11.1

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.11.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{40}$

Bước 4.1.2.11.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{40}$

Bước 4.1.2.11.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

Bước 4.1.2.11.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.11.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

Bước 4.1.2.11.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{1}}{40}$

Bước 4.1.2.11.1.5

Tính số mũ.

$\frac{5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{40}$

Bước 4.1.2.11.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5}{40}$

Bước 4.1.2.12

Triệt tiêu thừa số chung của $5 \sqrt{5} - 5$ và $40$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.12.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (\sqrt{5}) - 5}{40}$

Bước 4.1.2.12.2

Đưa $5$ ra ngoài $- 5$ .

$\frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)}{40}$

Bước 4.1.2.12.3

Đưa $5$ ra ngoài $5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)$ .

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{40}$

Bước 4.1.2.12.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.12.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $40$ .

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 (8)}$

Bước 4.1.2.12.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 \cdot 8}$

Bước 4.1.2.12.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{5} - 1}{8}$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 1 - \sqrt{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $1 - \sqrt{5}$ bằng $x$ .

$\frac{(1 - \sqrt{5}) - 1}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0 - \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Bước 4.2.2.1.2

Trừ $\sqrt{5}$ khỏi $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Viết lại ${(1 - \sqrt{5})}^{2}$ ở dạng $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Bước 4.2.2.2.2

Khai triển $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 (1 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Bước 4.2.2.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Bước 4.2.2.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Bước 4.2.2.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.2

Nhân $- \sqrt{5}$ với $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.4

Nhân $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.3.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.4.2

Nhân $\sqrt{5}$ với $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.4.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.4.4

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2} + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.5

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.3.1.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.3.1.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{1} + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.1.5.5

Tính số mũ.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5 + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.2

Cộng $1$ và $5$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 4}$

Bước 4.2.2.2.3.3

Trừ $\sqrt{5}$ khỏi $- \sqrt{5}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5} + 4}$

Bước 4.2.2.2.4

Cộng $6$ và $4$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Bước 4.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Bước 4.2.2.4

Nhân $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ với $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ .

$- (\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}})$

Bước 4.2.2.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.5.1

Nhân $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ với $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ .

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{(10 - 2 \sqrt{5}) (10 + 2 \sqrt{5})}$

Bước 4.2.2.5.2

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{100 + 20 \sqrt{5} - 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 4.2.2.5.3

Rút gọn.

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{80}$

Bước 4.2.2.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $10 + 2 \sqrt{5}$ và $80$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})$ .

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{80}$

Bước 4.2.2.5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.5.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $80$ .

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 (40)}$

Bước 4.2.2.5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

Bước 4.2.2.5.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\sqrt{5} (5 + \sqrt{5})}{40}$

Bước 4.2.2.5.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

Bước 4.2.2.5.6

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\sqrt{5}$ .

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

Bước 4.2.2.5.7

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{40}$

Bước 4.2.2.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.6.1

Nhân $5$ với $5$ .

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{40}$

Bước 4.2.2.6.2

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{40}$

Bước 4.2.2.6.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$- \frac{5 \sqrt{5} + 5}{40}$

Bước 4.2.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $5 \sqrt{5} + 5$ và $40$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.7.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 \sqrt{5}$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5}{40}$

Bước 4.2.2.7.2

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (1)}{40}$

Bước 4.2.2.7.3

Đưa $5$ ra ngoài $5 (\sqrt{5}) + 5 (1)$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{40}$

Bước 4.2.2.7.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.7.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $40$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 (8)}$

Bước 4.2.2.7.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 \cdot 8}$

Bước 4.2.2.7.4.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\sqrt{5} + 1}{8}$

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(1 + \sqrt{5}, \frac{\sqrt{5} - 1}{8}), (1 - \sqrt{5}, - \frac{\sqrt{5} + 1}{8})$

Bước 5