Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{8}$ và $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{7}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{7}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$f' (x) = x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Bước 1.1.3.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Bước 1.1.3.4.2

Nhân $7$ với $1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Bước 1.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 8$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

Bước 1.1.3.6

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của ${(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot ({(x - 1)}^{7} x^{7})$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Đưa $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ ra ngoài $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.1

Đưa $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ ra ngoài $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Bước 1.1.4.1.2

Đưa $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ ra ngoài $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

Bước 1.1.4.1.3

Đưa $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ ra ngoài $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

Bước 1.1.4.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{7} = 0$

${(x - 1)}^{6} = 0$

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Bước 2.3

Đặt $x^{7}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt $x^{7}$ bằng với $0$ .

$x^{7} = 0$

Bước 2.3.2

Giải $x^{7} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{0}$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn $\sqrt[7]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{7}$ .

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

Bước 2.3.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 2.4

Đặt ${(x - 1)}^{6}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt ${(x - 1)}^{6}$ bằng với $0$ .

${(x - 1)}^{6} = 0$

Bước 2.4.2

Giải ${(x - 1)}^{6} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Đặt $x - 1$ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 2.4.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 2.5

Đặt $7 x + 8 (x - 1)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $7 x + 8 (x - 1)$ bằng với $0$ .

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Bước 2.5.2

Giải $7 x + 8 (x - 1) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Rút gọn $7 x + 8 (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 x + 8 x + 8 \cdot - 1 = 0$

Bước 2.5.2.1.1.2

Nhân $8$ với $- 1$ .

$7 x + 8 x - 8 = 0$

Bước 2.5.2.1.2

Cộng $7 x$ và $8 x$ .

$15 x - 8 = 0$

Bước 2.5.2.2

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$15 x = 8$

Bước 2.5.2.3

Chia mỗi số hạng trong $15 x = 8$ cho $15$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $15 x = 8$ cho $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Bước 2.5.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Bước 2.5.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{8}{15}$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ đúng.

$x = 0, 1, \frac{8}{15}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $x^{8} {(x - 1)}^{7}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

${(0)}^{8} {((0) - 1)}^{7}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 {((0) - 1)}^{7}$

Bước 4.1.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$0 {(- 1)}^{7}$

Bước 4.1.2.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $7$ .

$0 \cdot - 1$

Bước 4.1.2.4

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $1$ bằng $x$ .

${(1)}^{8} {((1) - 1)}^{7}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 {((1) - 1)}^{7}$

Bước 4.2.2.2

Nhân ${((1) - 1)}^{7}$ với $1$ .

${((1) - 1)}^{7}$

Bước 4.2.2.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0^{7}$

Bước 4.2.2.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0$

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = \frac{8}{15}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $\frac{8}{15}$ bằng $x$ .

${(\frac{8}{15})}^{8} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8^{8}}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Bước 4.3.2.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $8$ .

$\frac{16777216}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Bước 4.3.2.3

Nâng $15$ lên lũy thừa $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Bước 4.3.2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}^{7}$

Bước 4.3.2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Bước 4.3.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Bước 4.3.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.7.1

Nhân $- 1$ với $15$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 15}{15})}^{7}$

Bước 4.3.2.7.2

Trừ $15$ khỏi $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{- 7}{15})}^{7}$

Bước 4.3.2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{16777216}{2562890625} {(- \frac{7}{15})}^{7}$

Bước 4.3.2.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.9.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} {(\frac{7}{15})}^{7})$

Bước 4.3.2.9.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Bước 4.3.2.10

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Bước 4.3.2.11

Nâng $7$ lên lũy thừa $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{15^{7}})$

Bước 4.3.2.12

Nâng $15$ lên lũy thừa $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$

Bước 4.3.2.13

Nhân $\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.13.1

Nhân $\frac{16777216}{2562890625}$ với $\frac{823543}{170859375}$ .

$- \frac{16777216 \cdot 823543}{2562890625 \cdot 170859375}$

Bước 4.3.2.13.2

Nhân $16777216$ với $823543$ .

$- \frac{13816758796288}{2562890625 \cdot 170859375}$

Bước 4.3.2.13.3

Nhân $2562890625$ với $170859375$ .

$- \frac{13816758796288}{437893890380859375}$

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{8}{15}, - \frac{13816758796288}{437893890380859375})$

Bước 5