Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{2} + \frac{108}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Bước 1.1.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $108$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{108}{x}$ đối với $x$ là $108 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Bước 1.1.3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 x + 108 (- x^{- 2})$

Bước 1.1.3.4

Nhân $- 1$ với $108$ .

$f' (x) = 4 x - 108 x^{- 2}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 x - 108 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Kết hợp $- 108$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{- 108}{x^{2}}$

Bước 1.1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = 4 x - \frac{108}{x^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $4 x - \frac{108}{x^{2}}$ .

$4 x - \frac{108}{x^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$

Bước 2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x^{2}, 1$

Bước 2.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{2}$

Bước 2.3

Nhân mỗi số hạng trong $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ với $x^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ với $x^{2}$ .

$4 x \cdot x^{2} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 2.3.2.1.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 2.3.2.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 x^{2 + 1} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 2.3.2.1.1.3

Cộng $2$ và $1$ .

$4 x^{3} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{108}{x^{2}}$ vào tử số.

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 x^{3} - 108 = 0 x^{2}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $0$ với $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 108 = 0$

Bước 2.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $108$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x^{3} = 108$

Bước 2.4.2

Trừ $108$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x^{3} - 108 = 0$

Bước 2.4.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3} - 108$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 108 = 0$

Bước 2.4.3.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 108$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 27 = 0$

Bước 2.4.3.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3} + 4 \cdot - 27$ .

$4 (x^{3} - 27) = 0$

Bước 2.4.3.2

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$4 (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Bước 2.4.3.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Bước 2.4.3.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.4.1.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Bước 2.4.3.4.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Bước 2.4.3.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Bước 2.4.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Bước 2.4.5

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 2.4.5.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 2.4.6

Đặt $x^{2} + 3 x + 9$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.1

Đặt $x^{2} + 3 x + 9$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Bước 2.4.6.2

Giải $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.4.6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 3$ , và $c = 9$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.3.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.3.1.3

Trừ $36$ khỏi $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.3.1.4

Viết lại $- 27$ ở dạng $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (27)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.3.1.7

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.3.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.3.1.7.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.3.1.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.6.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.4.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.4.1.3

Trừ $36$ khỏi $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.4.1.4

Viết lại $- 27$ ở dạng $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (27)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.4.1.7

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.4.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.4.1.7.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.4.1.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.6.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.6.2.4.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.6.2.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Bước 2.4.6.2.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Bước 2.4.6.2.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.6.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.5.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.5.1.3

Trừ $36$ khỏi $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.5.1.4

Viết lại $- 27$ ở dạng $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (27)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.5.1.7

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.5.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.5.1.7.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.5.1.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.6.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.6.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.6.2.5.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.6.2.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Bước 2.4.6.2.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Bước 2.4.6.2.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.6.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ đúng.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{108}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 3.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 3.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 3.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 4

Tính $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $3$ bằng $x$ .

$2 {(3)}^{2} + \frac{108}{3}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$2 \cdot 9 + \frac{108}{3}$

Bước 4.1.2.1.2

Nhân $2$ với $9$ .

$18 + \frac{108}{3}$

Bước 4.1.2.1.3

Chia $108$ cho $3$ .

$18 + 36$

Bước 4.1.2.2

Cộng $18$ và $36$ .

$54$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$2 {(0)}^{2} + \frac{108}{0}$

Bước 4.2.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(3, 54)$

Bước 5