Giải tích Ví dụ

$f (x) = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $20 x^{3} - 3 x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $20$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $20 x^{3}$ đối với $x$ là $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Bước 1.1.2.3

Nhân $3$ với $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{5}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$60 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Bước 1.1.3.3

Nhân $5$ với $- 3$ .

$60 x^{2} - 15 x^{4}$

Bước 1.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 15 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

Bước 2.2.2

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$- 15 u^{2} + 60 u = 0$

Bước 2.2.3

Đưa $15 u$ ra ngoài $- 15 u^{2} + 60 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $15 u$ ra ngoài $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 60 u = 0$

Bước 2.2.3.2

Đưa $15 u$ ra ngoài $60 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (4) = 0$

Bước 2.2.3.3

Đưa $15 u$ ra ngoài $15 u (- u) + 15 u (4)$ .

$15 u (- u + 4) = 0$

Bước 2.2.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 4 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 2.4.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 2.4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 2.4.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5

Đặt $- x^{2} + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $- x^{2} + 4$ bằng với $0$ .

$- x^{2} + 4 = 0$

Bước 2.5.2

Giải $- x^{2} + 4 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} = - 4$

Bước 2.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 4$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 4$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 2.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 2.5.2.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 2.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.3.1

Chia $- 4$ cho $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Bước 2.5.2.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{4}$

Bước 2.5.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Bước 2.5.2.4.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 2$

Bước 2.5.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2$

Bước 2.5.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2$

Bước 2.5.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2, - 2$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$ đúng.

$x = 0, 2, - 2$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $20 x^{3} - 3 x^{5}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$20 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{5}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$20 \cdot 0 - 3 {(0)}^{5}$

Bước 4.1.2.1.2

Nhân $20$ với $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{5}$

Bước 4.1.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - 3 \cdot 0$

Bước 4.1.2.1.4

Nhân $- 3$ với $0$ .

$0 + 0$

Bước 4.1.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $2$ bằng $x$ .

$20 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{5}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$20 \cdot 8 - 3 {(2)}^{5}$

Bước 4.2.2.1.2

Nhân $20$ với $8$ .

$160 - 3 {(2)}^{5}$

Bước 4.2.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$160 - 3 \cdot 32$

Bước 4.2.2.1.4

Nhân $- 3$ với $32$ .

$160 - 96$

Bước 4.2.2.2

Trừ $96$ khỏi $160$ .

$64$

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $- 2$ bằng $x$ .

$20 {(- 2)}^{3} - 3 {(- 2)}^{5}$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$20 \cdot - 8 - 3 {(- 2)}^{5}$

Bước 4.3.2.1.2

Nhân $20$ với $- 8$ .

$- 160 - 3 {(- 2)}^{5}$

Bước 4.3.2.1.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $5$ .

$- 160 - 3 \cdot - 32$

Bước 4.3.2.1.4

Nhân $- 3$ với $- 32$ .

$- 160 + 96$

Bước 4.3.2.2

Cộng $- 160$ và $96$ .

$- 64$

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 0), (2, 64), (- 2, - 64)$

Bước 5