Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 1.1.2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 1.1.4.3

Nhân $- 6$ với $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 1.1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

Bước 1.1.5.2

Cộng $12 x^{2} + 6 x - 6$ và $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $6$ ra ngoài $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

Bước 2.2.1.2

Đưa $6$ ra ngoài $6 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

Bước 2.2.1.3

Đưa $6$ ra ngoài $- 6$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

Bước 2.2.1.4

Đưa $6$ ra ngoài $6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ .

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

Bước 2.2.1.5

Đưa $6$ ra ngoài $6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ .

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Bước 2.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ và có tổng là $b = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1.1

Nhân với $1$ .

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Bước 2.2.2.1.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1$ cộng $2$

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Bước 2.2.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Bước 2.2.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Bước 2.2.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Bước 2.2.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x - 1$ .

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Bước 2.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 2.4

Đặt $2 x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $2 x - 1$ bằng với $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Bước 2.4.2

Giải $2 x - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 1$

Bước 2.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 2.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 2.4.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Bước 2.5

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 2.5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $\frac{1}{2}$ bằng $x$ .

$4 {(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Bước 4.1.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 \frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Bước 4.1.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$4 (\frac{1}{8}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Bước 4.1.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$4 \frac{1}{4 (2)} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Bước 4.1.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Bước 4.1.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Bước 4.1.2.1.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Bước 4.1.2.1.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Bước 4.1.2.1.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Bước 4.1.2.1.8

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Bước 4.1.2.1.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 (- 3) \frac{1}{2} + 1$

Bước 4.1.2.1.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2} + 1$

Bước 4.1.2.1.9.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Bước 4.1.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Bước 4.1.2.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Bước 4.1.2.2.3

Viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} + 1$

Bước 4.1.2.2.4

Nhân $\frac{- 3}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Bước 4.1.2.2.5

Nhân $\frac{- 3}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + 1$

Bước 4.1.2.2.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1}$

Bước 4.1.2.2.7

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 4.1.2.2.8

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Bước 4.1.2.2.9

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Bước 4.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 + 3 - 3 \cdot 4 + 4}{4}$

Bước 4.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Nhân $- 3$ với $4$ .

$\frac{2 + 3 - 12 + 4}{4}$

Bước 4.1.2.4.2

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{5 - 12 + 4}{4}$

Bước 4.1.2.4.3

Trừ $12$ khỏi $5$ .

$\frac{- 7 + 4}{4}$

Bước 4.1.2.4.4

Cộng $- 7$ và $4$ .

$\frac{- 3}{4}$

Bước 4.1.2.4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{4}$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

$4 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$4 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Bước 4.2.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 4 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Bước 4.2.2.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 4 + 3 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 1$

Bước 4.2.2.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$- 4 + 3 - 6 \cdot - 1 + 1$

Bước 4.2.2.1.5

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$- 4 + 3 + 6 + 1$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Cộng $- 4$ và $3$ .

$- 1 + 6 + 1$

Bước 4.2.2.2.2

Cộng $- 1$ và $6$ .

$5 + 1$

Bước 4.2.2.2.3

Cộng $5$ và $1$ .

$6$

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4}), (- 1, 6)$

Bước 5