Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Bước 1.1.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Bước 1.1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Bước 1.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Bước 1.1.3.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Bước 1.1.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Bước 1.1.3.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Bước 1.1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Bước 1.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Bước 1.1.6

Cộng $1$ và $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Bước 1.1.7

Kết hợp $2$ và $\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.4.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.4.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.4.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.4.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.4.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.4.1.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.4.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.4.1.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 2 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.4.1.4

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.4.1.5

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.4.2.1

Trừ $4 x^{3}$ khỏi $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x + 0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.4.2.2

Cộng $- 4 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.8.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.6.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Bước 1.1.8.6.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Bước 1.1.8.6.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$4 x = 0$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$x = 0$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Bước 3.2.2

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 3.2.2.2

Giải ${(x + 1)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Đặt $x + 1$ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 3.2.2.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 3.2.3

Đặt ${(x - 1)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đặt ${(x - 1)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Bước 3.2.3.2

Giải ${(x - 1)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Đặt $x - 1$ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 3.2.3.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 3.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ đúng.

$x = - 1, 1$

Bước 3.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Bước 4

Tính $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 1}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{0^{2} - 1}$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{0 - 1}$

Bước 4.1.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{- 1}$

Bước 4.1.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{0}{- 1}$

Bước 4.1.2.3.2

Chia $0$ cho $- 1$ .

$0$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} - 1}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{1 - 1}$

Bước 4.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{0}$

Bước 4.2.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\frac{2 {(1)}^{2}}{{(1)}^{2} - 1}$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2 {(1)}^{2}}{1 - 1}$

Bước 4.3.2.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{2 {(1)}^{2}}{0}$

Bước 4.3.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 0)$

Bước 5