Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 1.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 1.1.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 1.1.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 1.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 1.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 1.1.5.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 1.1.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 1.1.6.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 1.1.6.3

Di chuyển ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 1.1.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Bước 1.1.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Bước 1.1.9

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Bước 1.1.10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)$

Bước 1.1.10.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x$

Bước 1.1.10.3

Kết hợp $\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ và $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$2 x = 0$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$

Bước 3.2

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}} = 0$

Bước 3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ ở dạng ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Rút gọn ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Bước 3.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$27 {(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Bước 3.3.3.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$27 {((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Bước 3.3.3.1.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 1) (x - 1)$ .

$27 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0$

Bước 3.3.3.1.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Bước 3.3.3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Bước 3.3.3.3

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.3.1

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 3.3.3.3.2

Giải ${(x + 1)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.3.2.1

Đặt $x + 1$ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 3.3.3.3.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 3.3.3.4

Đặt ${(x - 1)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.4.1

Đặt ${(x - 1)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Bước 3.3.3.4.2

Giải ${(x - 1)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.4.2.1

Đặt $x - 1$ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 3.3.3.4.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 3.3.3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ đúng.

$x = - 1, 1$

Bước 3.4

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Bước 4

Tính ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

${({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

${(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.1.2.1.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

${(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.1.2.1.3

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.1.2.1.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 4.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 4.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

${(- 1)}^{1}$

Bước 4.1.2.3

Tính số mũ.

$- 1$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.2.2.1.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.2.2.1.3

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.2.2.1.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 4.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$0^{1}$

Bước 4.2.2.3

Tính số mũ.

$0$

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $1$ bằng $x$ .

${({(1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.3.2.1.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.3.2.1.3

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.3.2.1.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 4.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$0^{1}$

Bước 4.3.2.3

Tính số mũ.

$0$

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Bước 5