Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Nhân $x^{2} - 4$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.5

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.1.7

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$- x^{2} - 4 = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} = 4$

Bước 2.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = 4$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = 4$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Bước 2.3.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Bước 2.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Chia $4$ cho $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Bước 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Bước 2.3.4

Rút gọn $\pm \sqrt{- 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Bước 2.3.4.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Bước 2.3.4.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Bước 2.3.4.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Bước 2.3.4.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm i \cdot 2$

Bước 2.3.4.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \pm 2 i$

Bước 2.3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2 i$

Bước 2.3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2 i$

Bước 2.3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2 i, - 2 i$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Bước 3.2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Bước 3.2.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 3.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 3.2.3

Đặt ${(x + 2)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đặt ${(x + 2)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Bước 3.2.3.2

Giải ${(x + 2)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Đặt $x + 2$ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 3.2.3.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 3.2.4

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 3.2.4.2

Giải ${(x - 2)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 3.2.4.2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 3.2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ đúng.

$x = - 2, 2$

Bước 3.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Bước 4

Tính $\frac{x}{x^{2} - 4}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $- 2$ bằng $x$ .

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 4}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{- 2}{4 - 4}$

Bước 4.1.2.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$\frac{- 2}{0}$

Bước 4.1.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $2$ bằng $x$ .

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 4}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2}{4 - 4}$

Bước 4.2.2.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$\frac{2}{0}$

Bước 4.2.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 5

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào