Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ ở dạng ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 1.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 1.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 1.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 1.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 1.1.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 1.1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 1.1.7.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 1.1.7.3

Di chuyển ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 1.1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 1.1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 1.1.10

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Bước 1.1.12

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$

Bước 1.1.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.13.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.13.2

Nhân $2 x - 2$ với $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.13.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.13.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.13.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.13.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$2 (x - 1) = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (x - 1) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (x - 1) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.1.2.1.2

Chia $x - 1$ cho $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x - 1 = 0$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$

Bước 3.2

Đặt mẫu số trong $\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Bước 3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ ở dạng ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Rút gọn ${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0$

Bước 3.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$27 {(x \cdot x - 2 x)}^{2} = 0$

Bước 3.3.3.1.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 x$ .

$27 {(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2} = 0$

Bước 3.3.3.1.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$27 {(x (x - 2))}^{2} = 0$

Bước 3.3.3.1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $x (x - 2)$ .

$27 (x^{2} {(x - 2)}^{2}) = 0$

Bước 3.3.3.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 3.3.3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 3.3.3.3

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.3.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 3.3.3.3.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.3.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 3.3.3.3.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.3.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 3.3.3.3.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 3.3.3.3.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 3.3.3.4

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.4.1

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 3.3.3.4.2

Giải ${(x - 2)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.4.2.1

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 3.3.3.4.2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 3.3.3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ đúng.

$x = 0, 2$

Bước 3.4

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = 0, x = 2$

Bước 4

Tính $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\sqrt[3]{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt[3]{1 - 2 \cdot 1}$

Bước 4.1.2.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\sqrt[3]{1 - 2}$

Bước 4.1.2.3

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\sqrt[3]{- 1}$

Bước 4.1.2.4

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}$

Bước 4.1.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$- 1$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\sqrt[3]{0 - 2 \cdot 0}$

Bước 4.2.2.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$\sqrt[3]{0 + 0}$

Bước 4.2.2.3

Cộng $0$ và $0$ .

$\sqrt[3]{0}$

Bước 4.2.2.4

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 4.2.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$0$

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $2$ bằng $x$ .

$\sqrt[3]{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2}$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 2 \cdot 2}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 4}$

Bước 4.3.2.3

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Bước 4.3.2.4

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 4.3.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$0$

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(1, - 1), (0, 0), (2, 0)$

Bước 5