Giải tích Ví dụ

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$

Bước 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Bước 1.2

Rút gọn $\pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3} + 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}$

Bước 1.2.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

Bước 1.2.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} (x + 3)}$

Bước 1.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \pm x \sqrt{x + 3}$

Bước 1.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = x \sqrt{x + 3}$

Bước 1.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Bước 1.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Bước 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = x \sqrt{x + 3} \to f (x) = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3} \to f (x) = - x \sqrt{x + 3}$

Bước 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Bước 3.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 y y'$

Bước 3.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 3 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 3.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 3.3.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Bước 3.3.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Bước 3.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Bước 3.5

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ cho $2 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ cho $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Bước 3.5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Bước 3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Bước 3.5.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Bước 3.5.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Bước 3.5.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Bước 3.5.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Bước 3.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Bước 4

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$2 y, y, 1$

Bước 4.1.2

Vì $2 y, y, 1$ chứa cả số và biến nên cần thực hiện hai bước để tìm BCNN. Tìm BCNN cho phần số $2, 1, 1$ sau đó tìm BCNN cho phần biến $y^{1}, y^{1}$ .

Bước 4.1.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 4.1.4

Vì $2$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $2$ .

$2$ là một số nguyên tố

Bước 4.1.5

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 4.1.6

BCNN của $2, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$2$

Bước 4.1.7

Thừa số cho $y^{1}$ là chính nó $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ xảy ra $1$ lần.

Bước 4.1.8

BCNN của $y^{1}, y^{1}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$y$

Bước 4.1.9

BCNN cho $2 y, y, 1$ là phần số $2$ nhân với phần biến.

$2 y$

Bước 4.2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ với $2 y$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ với $2 y$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y} (2 y) + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Bước 4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Bước 4.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y)} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Bước 4.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Bước 4.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Bước 4.2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Bước 4.2.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$3 x^{2} + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Bước 4.2.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 x^{2} + 2 \frac{3 x}{y} y = 0 (2 y)$

Bước 4.2.2.1.5

Nhân $2 \frac{3 x}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.5.1

Kết hợp $2$ và $\frac{3 x}{y}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{y} y = 0 (2 y)$

Bước 4.2.2.1.5.2

Nhân $3$ với $2$ .

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Bước 4.2.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Bước 4.2.2.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$3 x^{2} + 6 x = 0 (2 y)$

Bước 4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nhân $0 (2 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0 y$

Bước 4.2.3.1.2

Nhân $0$ với $y$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0$

Bước 4.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x^{2} + 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 6 x = 0$

Bước 4.3.1.2

Đưa $3 x$ ra ngoài $6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

Bước 4.3.1.3

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$3 x (x + 2) = 0$

Bước 4.3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Bước 4.3.3

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 4.3.4

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 4.3.4.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 4.3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $3 x (x + 2) = 0$ đúng.

$x = 0, - 2$

Bước 5

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = (0) \sqrt{(0) + 3}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $0$ và $3$ .

$f (0) = 0 \sqrt{3}$

Bước 5.2.2

Nhân $0$ với $\sqrt{3}$ .

$f (0) = 0$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 6

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = (- 2) \sqrt{(- 2) + 3}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Cộng $- 2$ và $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{1}$

Bước 6.2.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot 1$

Bước 6.2.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f (- 2) = - 2$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$- 2$

Bước 7

Solve the function $f (x) = - x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = 2 \sqrt{(- 2) + 3}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $- 2$ và $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{1}$

Bước 7.2.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 1$

Bước 7.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f (- 2) = 2$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 8

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

$y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

Bước 9