Giải tích Ví dụ

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x - 1$ và $g (x) = x^{2} - 8 x + 7$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 7] + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 8 x + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 1.2.3

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 x$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 1.2.5

Nhân $- 8$ với $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 1.2.6

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 1.2.7

Cộng $2 x - 8$ và $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 1.2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.2.10

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + 0)$

Bước 1.2.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.1

Cộng $1$ và $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \cdot 1$

Bước 1.2.11.2

Nhân $x^{2} - 8 x + 7$ với $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 7$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Bước 1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Bước 1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Bước 1.3.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Bước 1.3.4.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Bước 1.3.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Bước 1.3.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Bước 1.3.4.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Bước 1.3.4.6

Di chuyển $- 8$ sang phía bên trái của $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 \cdot x - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Bước 1.3.4.7

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Bước 1.3.4.8

Trừ $8 x$ khỏi $- 2 x$ .

$2 x^{2} - 10 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Bước 1.3.4.9

Cộng $2 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 8 - 8 x + 7$

Bước 1.3.4.10

Trừ $8 x$ khỏi $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 18 x + 8 + 7$

Bước 1.3.4.11

Cộng $8$ và $7$ .

$3 x^{2} - 18 x + 15$

Bước 2

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} - 18 x + 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 15 = 0$

Bước 2.1.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 15 = 0$

Bước 2.1.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $15$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Bước 2.1.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Bước 2.1.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Bước 2.1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Phân tích $x^{2} - 6 x + 5$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $5$ và tổng của chúng là $- 6$ .

$- 5, - 1$

Bước 2.1.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$3 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Bước 2.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$3 (x - 5) (x - 1) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 2.3

Đặt $x - 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt $x - 5$ bằng với $0$ .

$x - 5 = 0$

Bước 2.3.2

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 5$

Bước 2.4

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 2.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $3 (x - 5) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 5, 1$

Bước 3

Giải hàm số ban đầu $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ tại $x = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $5$ trong biểu thức.

$f (5) = ((5) - 1) ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $1$ khỏi $5$ .

$f (5) = 4 ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Bước 3.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f (5) = 4 (25 - 8 \cdot 5 + 7)$

Bước 3.2.2.2

Nhân $- 8$ với $5$ .

$f (5) = 4 (25 - 40 + 7)$

Bước 3.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Trừ $40$ khỏi $25$ .

$f (5) = 4 (- 15 + 7)$

Bước 3.2.3.2

Cộng $- 15$ và $7$ .

$f (5) = 4 \cdot - 8$

Bước 3.2.3.3

Nhân $4$ với $- 8$ .

$f (5) = - 32$

Bước 3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 32$ .

$- 32$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = ((1) - 1) ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (1) = 0 ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Bước 4.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 0 (1 - 8 \cdot 1 + 7)$

Bước 4.2.2.2

Nhân $- 8$ với $1$ .

$f (1) = 0 (1 - 8 + 7)$

Bước 4.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Trừ $8$ khỏi $1$ .

$f (1) = 0 (- 7 + 7)$

Bước 4.2.3.2

Cộng $- 7$ và $7$ .

$f (1) = 0 \cdot 0$

Bước 4.2.3.3

Nhân $0$ với $0$ .

$f (1) = 0$

Bước 4.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 5

Các đường tiếp tuyến ngang trên hàm $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ là $y = - 32, y = 0$ .

$y = - 32, y = 0$

Bước 6