Giải tích Ví dụ

$f (x) = x e^{- x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.3

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Bước 1.3.5

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Bước 2

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Bước 2.1.2

Nhân với $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Bước 2.1.3

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Bước 2.3

Đặt $e^{- x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt $e^{- x}$ bằng với $0$ .

$e^{- x} = 0$

Bước 2.3.2

Giải $e^{- x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Bước 2.3.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 2.3.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{- x} = 0$

Không có đáp án

Bước 2.4

Đặt $- x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $- x + 1$ bằng với $0$ .

$- x + 1 = 0$

Bước 2.4.2

Giải $- x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 1$

Bước 2.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.4.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x = 1$

Bước 2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $e^{- x} (- x + 1) = 0$ đúng.

$x = 1$

Bước 3

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x e^{- x}$ tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $e^{- (1)}$ với $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

Bước 3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Bước 3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Bước 4

Đường tiếp tuyến ngang của hàm $f (x) = x e^{- x}$ là $y = \frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Bước 5