Giải tích Ví dụ

$y = x + \cos (x)$

Bước 1

Thiết lập $y$ ở dạng một hàm số của $x$ .

$f (x) = x + \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Bước 3

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $1 - \sin (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \sin (x) = - 1$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.2.2.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Bước 3.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (1)$

Bước 3.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (1)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 3.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{2}$

Bước 3.6

Rút gọn $π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 3.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Bước 3.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 3.7

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.8

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x + \cos (x)$ tại $x = \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Bước 4.2.2

Cộng $\frac{π}{2}$ và $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

Bước 5

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x + \cos (x)$ tại $x = \frac{π}{2} + 2 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2} + 2 π$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = (\frac{π}{2} + 2 π) + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Bước 5.2.1.2

Nhân $\frac{2 π}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} \cdot \frac{2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Bước 5.2.1.3

Nhân $\frac{2 π}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Bước 5.2.1.4

Viết $\cos (\frac{π}{2} + 2 π)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$

Bước 5.2.1.5

Nhân $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 5.2.1.6

Nhân $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Bước 5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 2 π \cdot 2 + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Bước 5.2.3.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}) \cdot 2}{2}$

Bước 5.2.3.3

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

Bước 5.2.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

Bước 5.2.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.5.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 4 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Bước 5.2.3.5.2

Cộng $π$ và $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{5 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Bước 5.2.3.6

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2}) \cdot 2}{2}$

Bước 5.2.3.7

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0 \cdot 2}{2}$

Bước 5.2.3.8

Nhân $0$ với $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0}{2}$

Bước 5.2.4

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $π$ và $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π + 0}{2}$

Bước 5.2.4.2

Cộng $5 π$ và $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π}{2}$

Bước 5.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{5 π}{2}$ .

$\frac{5 π}{2}$

Bước 6

Đường tiếp tuyến ngang của hàm $f (x) = x + \cos (x)$ là $y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$

Bước 7