Giải tích Ví dụ

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 1.2.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 1.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 1.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 1.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Bước 2

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.1.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.2

Phân tích $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \cos^{2} (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.2.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) - 2 \cos (x) = 0$

Bước 2.2.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \cos (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

Bước 2.2.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

Bước 2.2.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x))$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x)) = 0$

Bước 2.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

Bước 2.2.2.1.2

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ và có tổng là $b = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

Bước 2.2.2.1.2.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $1$ cộng $- 2$

$2 (2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1) = 0$

Bước 2.2.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Bước 2.2.2.1.2.4

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Bước 2.2.2.1.3

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.3.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Bước 2.2.2.1.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$2 (\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1)) = 0$

Bước 2.2.2.1.4

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 \cos (x) + 1$ .

$2 ((2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Bước 2.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Bước 2.4

Đặt $2 \cos (x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $2 \cos (x) + 1$ bằng với $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Bước 2.4.2

Giải $2 \cos (x) + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (x) = - 1$

Bước 2.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.4.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Bước 2.4.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Bước 2.4.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{1}{2})$ là $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Bước 2.4.2.5

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Bước 2.4.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 2.4.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 2.4.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Bước 2.4.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.6.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Bước 2.4.2.6.3.2

Trừ $2 π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Bước 2.4.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.4.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 2.4.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 2.4.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 2.4.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.5

Đặt $\cos (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $\cos (x) - 1$ bằng với $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Bước 2.5.2

Giải $\cos (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\cos (x) = 1$

Bước 2.5.2.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (1)$

Bước 2.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5.2.4

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - 0$

Bước 2.5.2.5

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$x = 2 π$

Bước 2.5.2.6

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.5.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 2.5.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 2.5.2.6.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 2.5.2.7

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.7

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Giải hàm số ban đầu $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ tại $x = \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (2 (\frac{2 π}{3})) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $2$ và $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 3.2.1.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 3.2.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ ba.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 3.2.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 3.2.1.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Bước 3.2.1.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 3.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 3.2.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 3.2.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \sqrt{3}$

Bước 3.2.1.7

Viết lại $- 1 \sqrt{3}$ ở dạng $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}$

Bước 3.2.2

Để viết $- \sqrt{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 3.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Kết hợp $- \sqrt{3}$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Bước 3.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Bước 3.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.2.4.2

Trừ $2 \sqrt{3}$ khỏi $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Bước 4

Đường tiếp tuyến ngang của hàm $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ là $y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Dạng thập phân:

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - 2.59807621 \dots$

Bước 6