Giải tích Ví dụ

$y = x + \sin (x y)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \sin (x y))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \sin (x y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.2.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$1 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$1 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Bước 3.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y)$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Bước 3.3.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$ .

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + 1$

Bước 5.2

Trừ $x y' \cos (x y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' - x y' \cos (x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y' \cos (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ cho $1 - x \cos (x y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ cho $1 - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x \cos (x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Bước 7

Đặt $\frac{d y}{d x} = 0$ sau đó giải tìm $x$ theo dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cho tử bằng không.

$y \cos (x y) + 1 = 0$

Bước 7.2

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y \cos (x y) = - 1$

Bước 7.2.2

Chia mỗi số hạng trong $y \cos (x y) = - 1$ cho $y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $y \cos (x y) = - 1$ cho $y$ .

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Bước 7.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Bước 7.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x y)$ cho $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{y}$

Bước 7.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (x y) = - \frac{1}{y}$

Bước 7.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$

Bước 7.2.4

Chia mỗi số hạng trong $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ cho $y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ cho $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Bước 7.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Bước 7.2.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn $(\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) + \sin ((\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} y)$

Bước 8.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$

Bước 8.1.1.2

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ , $(- \frac{1}{y}, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arccos (- \frac{1}{y})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ . Do đó, $\sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$ là $\sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Bước 8.1.1.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Bước 8.1.1.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = - \frac{1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 - - \frac{1}{y})}$

Bước 8.1.1.5

Nhân $- - \frac{1}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + 1 \frac{1}{y})}$

Bước 8.1.1.5.2

Nhân $\frac{1}{y}$ với $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Bước 8.1.1.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(\frac{y}{y} - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Bước 8.1.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (1 + \frac{1}{y})}$

Bước 8.1.1.8

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (\frac{y}{y} + \frac{1}{y})}$

Bước 8.1.1.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} \cdot \frac{y + 1}{y}}$

Bước 8.1.1.10

Nhân $\frac{y - 1}{y}$ với $\frac{y + 1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y \cdot y}}$

Bước 8.1.1.11

Nhân $y$ với $y$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}}$

Bước 8.1.1.12

Viết lại $\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}$ ở dạng ${(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.12.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $(y - 1) (y + 1)$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2}}}$

Bước 8.1.1.12.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $y^{2}$ ra ngoài $y^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Bước 8.1.1.12.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{{(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))}$

Bước 8.1.1.13

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{1}{y} \sqrt{(y - 1) (y + 1)}$

Bước 8.1.1.14

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $\sqrt{(y - 1) (y + 1)}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{\sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Bước 8.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y}) + \sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Bước 8.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$y \approx 1.94368519$

Bước 9

Solve for $x$ when $y$ is $1.94368519$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$

Bước 9.2

Rút gọn $\frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Chia $1$ cho $1.94368519$ .

$x = \frac{\arccos (- 1 \cdot 0.5144866)}{1.94368519}$

Bước 9.2.1.2

Nhân $- 1$ với $0.5144866$ .

$x = \frac{\arccos (- 0.5144866)}{1.94368519}$

Bước 9.2.1.3

Tính $\arccos (- 0.5144866)$ .

$x = \frac{2.11120515}{1.94368519}$

Bước 9.2.2

Chia $2.11120515$ cho $1.94368519$ .

$x = 1.08618677$

Bước 10

Tìm các điểm mà tại đó $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(1.08618677, 1.94368519)$

Bước 11