Giải tích Ví dụ

$x^{2} + x y = 10$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y) = \frac{d}{d x} (10)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1$

Bước 2.2.4

Nhân $y$ với $1$ .

$2 x + x y' + y$

Bước 2.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$x y' + 2 x + y$

Bước 3

Vì $10$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $10$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x y' + 2 x + y = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' + y = - 2 x$

Bước 5.1.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' = - 2 x - y$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $x y' = - 2 x - y$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x y' = - 2 x - y$ cho $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Bước 5.2.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Bước 5.2.3.1.1.2

Chia $- 2$ cho $1$ .

$y' = - 2 + \frac{- y}{x}$

Bước 5.2.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - 2 - \frac{y}{x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 - \frac{y}{x}$

Bước 7

Đặt $\frac{d y}{d x} = 0$ sau đó giải tìm $x$ theo dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \frac{y}{x} = 2$

Bước 7.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x, 1$

Bước 7.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x$

Bước 7.3

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{y}{x} = 2$ với $x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{y}{x} = 2$ với $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 2 x$

Bước 7.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{y}{x}$ vào tử số.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Bước 7.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Bước 7.3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- y = 2 x$

Bước 7.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 x = - y$ .

$2 x = - y$

Bước 7.4.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - y$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - y$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Bước 7.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Bước 7.4.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Bước 7.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{y}{2}$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Bước 8.1.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Bước 8.1.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Bước 8.1.1.3

Nhân $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Bước 8.1.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Bước 8.1.1.5

Nhân $(- \frac{y}{2}) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.5.1

Kết hợp $y$ và $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} = 10$

Bước 8.1.1.5.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} = 10$

Bước 8.1.1.5.3

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} = 10$

Bước 8.1.1.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} = 10$

Bước 8.1.1.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 10$

Bước 8.1.2

Để viết $- \frac{y^{2}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} = 10$

Bước 8.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.3.1

Nhân $\frac{y^{2}}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} = 10$

Bước 8.1.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Bước 8.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Bước 8.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.5.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} - y^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.5.1.1

Nhân với $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Bước 8.1.5.1.2

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $- y^{2} \cdot 2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Bước 8.1.5.1.3

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Bước 8.1.5.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{y^{2} (1 - 2)}{4} = 10$

Bước 8.1.5.3

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot - 1}{4} = 10$

Bước 8.1.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.6.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2}}{4} = 10$

Bước 8.1.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{y^{2}}{4} = 10$

Bước 8.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $- 4$ .

$- 4 (- \frac{y^{2}}{4}) = - 4 \cdot 10$

Bước 8.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Rút gọn $- 4 (- \frac{y^{2}}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{y^{2}}{4}$ vào tử số.

$- 4 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Bước 8.3.1.1.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Bước 8.3.1.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Bước 8.3.1.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$- - y^{2} = - 4 \cdot 10$

Bước 8.3.1.1.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 y^{2} = - 4 \cdot 10$

Bước 8.3.1.1.2.2

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$y^{2} = - 4 \cdot 10$

Bước 8.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Nhân $- 4$ với $10$ .

$y^{2} = - 40$

Bước 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 40}$

Bước 8.5

Rút gọn $\pm \sqrt{- 40}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Viết lại $- 40$ ở dạng $- 1 (40)$ .

$y = \pm \sqrt{- 1 (40)}$

Bước 8.5.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (40)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$

Bước 8.5.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{40}$

Bước 8.5.4

Viết lại $40$ ở dạng $2^{2} \cdot 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $40$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}$

Bước 8.5.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Bước 8.5.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \pm i \cdot (2 \sqrt{10})$

Bước 8.5.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$y = \pm 2 i \sqrt{10}$

Bước 8.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = 2 i \sqrt{10}$

Bước 8.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - 2 i \sqrt{10}$

Bước 8.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = 2 i \sqrt{10}, - 2 i \sqrt{10}$

Bước 9

Solve for $x$ when $y$ is $2 i \sqrt{10}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Bước 9.2.2

Chia $i \sqrt{10}$ cho $1$ .

$x = - (i \sqrt{10})$

$x = - i \sqrt{10}$

Bước 10

Rút gọn $- \frac{- 2 i \sqrt{10}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 i \sqrt{10}$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2}$

Bước 10.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 (1)}$

Bước 10.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

Bước 10.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = - \frac{- i \sqrt{10}}{1}$

Bước 10.1.2.4

Chia $- i \sqrt{10}$ cho $1$ .

$x = - (- i \sqrt{10})$

Bước 10.2

Nhân $- (- i \sqrt{10})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x = 1 (i \sqrt{10})$

Bước 10.2.2

Nhân $\sqrt{10}$ với $1$ .

$x = \sqrt{10} i$

Bước 11

Tìm các điểm mà tại đó $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- i \sqrt{10}, 2 i \sqrt{10})$

$(\sqrt{10} i, - 2 i \sqrt{10})$

Bước 12