Giải tích Ví dụ

$x^{6} = \cot (y)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{6}) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\cot (u)$ đối với $u$ là $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$6 x^{5} = - \csc^{2} (y) y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ .

$- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ cho $- \csc^{2} (y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ cho $- \csc^{2} (y)$ .

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\csc^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Bước 5.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Bước 7

Đặt $\frac{d y}{d x} = 0$ sau đó giải tìm $x$ theo dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cho tử bằng không.

$6 x^{5} = 0$

Bước 7.2

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $6 x^{5} = 0$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $6 x^{5} = 0$ cho $6$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Bước 7.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Bước 7.2.1.2.1.2

Chia $x^{5}$ cho $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Bước 7.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.3.1

Chia $0$ cho $6$ .

$x^{5} = 0$

Bước 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Bước 7.2.3

Rút gọn $\sqrt[5]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Bước 7.2.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại phương trình ở dạng $\cot (y) = 0^{6}$ .

$\cot (y) = 0^{6}$

Bước 8.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\cot (y) = 0$

Bước 8.3

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm cotang.

$y = arccot (0)$

Bước 8.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Giá trị chính xác của $arccot (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Bước 8.5

Hàm cotang dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy thêm góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$y = π + \frac{π}{2}$

Bước 8.6

Rút gọn $π + \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Bước 8.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Bước 8.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Bước 8.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$y = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Bước 8.6.3.2

Cộng $2 π$ và $π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Bước 8.7

Tìm chu kỳ của $\cot (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 8.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 8.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 8.7.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 8.8

Chu kỳ của hàm $\cot (y)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$y = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8.9

Hợp nhất các câu trả lời.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Tìm các điểm mà tại đó $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, \frac{π}{2} + π n)$

Bước 10