Giải tích Ví dụ

$x^{2} + y^{2} + 1 = 0$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} + 1) = \frac{d}{d x} (0)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 2 y y' + 0$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $2 x + 2 y y'$ và $0$ .

$2 x + 2 y y'$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 y y' + 2 x$

Bước 3

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y y' + 2 x = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y y' = - 2 x$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = - 2 x$ cho $2 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = - 2 x$ cho $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Bước 5.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Bước 5.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Bước 5.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Bước 5.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- x}{y}$

Bước 5.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{x}{y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

Bước 7

Cho tử bằng không.

$x = 0$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn $0^{2} + y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + y^{2} + 1 = 0$

Bước 8.1.2

Cộng $0$ và $y^{2}$ .

$y^{2} + 1 = 0$

Bước 8.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} = - 1$

Bước 8.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 1}$

Bước 8.4

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$y = \pm i$

Bước 8.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = i$

Bước 8.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - i$

Bước 8.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = i, - i$

Bước 9

Tìm các điểm mà tại đó $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, i)$

$(0, - i)$

Bước 10