Giải tích Ví dụ

$y = \frac{4 x - 6}{3 x + 8}$ , $x = 3$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 4 x - 6$ và $g (x) = 3 x + 8$ .

$\frac{(3 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x - 6] - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{(3 x + 8) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 8) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 8) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2.4

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{(3 x + 8) (4 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $- 6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 6$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(3 x + 8) (4 + 0) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{(3 x + 8) \cdot 4 - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $3 x + 8$ .

$\frac{4 \cdot (3 x + 8) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2.8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2.10

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (3 + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2.11

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (3 + 0)}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) \cdot 3}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 2.12.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - 3 (4 x - 6)}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 8 - 3 (4 x - 6)}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 8 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 (3 x) + 4 \cdot 8 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $4 (3 x)$ và $- 3 (4 x)$ .

$\frac{3 \cdot 4 x + 4 \cdot 8 - 3 \cdot 4 x - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2

Trừ $3 \cdot 4 x$ khỏi $3 \cdot 4 x$ .

$\frac{4 \cdot 8 + 0 - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 3.3.1.3

Cộng $4 \cdot 8$ và $0$ .

$\frac{4 \cdot 8 - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $4$ với $8$ .

$\frac{32 - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $- 3$ với $- 6$ .

$\frac{32 + 18}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Cộng $32$ và $18$ .

$\frac{50}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Bước 4

Tính đạo hàm tại $x = 3$ .

$\frac{50}{{(3 (3) + 8)}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{50}{{(9 + 8)}^{2}}$

Bước 5.2

Cộng $9$ và $8$ .

$\frac{50}{17^{2}}$

Bước 5.3

Nâng $17$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{50}{289}$