Giải tích Ví dụ

$f (x) = x + \frac{9}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \frac{9}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{9}{x})$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{9}{x})$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{9}{x}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 1 + 9 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Bước 1.1.2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 9 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 9 (- x^{- 2})$

Bước 1.1.2.4

Nhân $- 1$ với $9$ .

$f' (x) = 1 - 9 x^{- 2}$

Bước 1.1.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 9 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.1

Kết hợp $- 9$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 9}{x^{2}}$

Bước 1.1.4.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = 1 - \frac{9}{x^{2}}$

Bước 1.1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - \frac{9}{x^{2}} + 1$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{9}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + 1$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{9}{x^{2}} + 1 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + 1 = 0$

Bước 2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{9}{x^{2}} = - 1$

Bước 2.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{2}, 1$

Bước 2.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{2}$

Bước 2.4

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{9}{x^{2}} = - 1$ với $x^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{9}{x^{2}} = - 1$ với $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{9}{x^{2}}$ vào tử số.

$\frac{- 9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Bước 2.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Bước 2.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 9 = - x^{2}$

Bước 2.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- x^{2} = - 9$ .

$- x^{2} = - 9$

Bước 2.5.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 9$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 9$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Bước 2.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Bước 2.5.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Bước 2.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1

Chia $- 9$ cho $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Bước 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Bước 2.5.4

Rút gọn $\pm \sqrt{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Bước 2.5.4.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 3$

Bước 2.5.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 3$

Bước 2.5.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 3$

Bước 2.5.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 3, - 3$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $3, - 3$ .

$3, - 3$

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{9}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 4.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 4.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 3)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f' (- 4) = - \frac{9}{{(- 4)}^{2}} + 1$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{9}{16} + 1$

Bước 6.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (- 4) = - \frac{9}{16} + \frac{16}{16}$

Bước 6.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- 4) = \frac{- 9 + 16}{16}$

Bước 6.2.4

Cộng $- 9$ và $16$ .

$f' (- 4) = \frac{7}{16}$

Bước 6.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{7}{16}$ .

$\frac{7}{16}$

Bước 6.3

Tại $x = - 4$ đạo hàm là $\frac{7}{16}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, - 3)$ .

Tăng trên $(- \infty, - 3)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 3, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{3}{2}$ trong biểu thức.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{{(- \frac{3}{2})}^{2}} + 1$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}} + 1$

Bước 7.2.1.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}} + 1$

Bước 7.2.1.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})} + 1$

Bước 7.2.1.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{1 (\frac{9}{2^{2}})} + 1$

Bước 7.2.1.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{1 (\frac{9}{4})} + 1$

Bước 7.2.1.1.6

Nhân $\frac{9}{4}$ với $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{\frac{9}{4}} + 1$

Bước 7.2.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f' (- \frac{3}{2}) = - (9 (\frac{4}{9})) + 1$

Bước 7.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- \frac{3}{2}) = - (9 (\frac{4}{9})) + 1$

Bước 7.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Bước 7.2.1.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 4 + 1$

Bước 7.2.2

Cộng $- 4$ và $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 3$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3$ .

$- 3$

Bước 7.3

Tại $x = - \frac{3}{2}$ đạo hàm là $- 3$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- 3, 0)$ .

Giảm trên $(- 3, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 3)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3}{2}$ trong biểu thức.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{{(\frac{3}{2})}^{2}} + 1$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{\frac{3^{2}}{2^{2}}} + 1$

Bước 8.2.1.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{\frac{9}{2^{2}}} + 1$

Bước 8.2.1.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{\frac{9}{4}} + 1$

Bước 8.2.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f' (\frac{3}{2}) = - (9 (\frac{4}{9})) + 1$

Bước 8.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{3}{2}) = - (9 (\frac{4}{9})) + 1$

Bước 8.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{3}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Bước 8.2.1.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 4 + 1$

Bước 8.2.2

Cộng $- 4$ và $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 3$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3$ .

$- 3$

Bước 8.3

Tại $x = \frac{3}{2}$ đạo hàm là $- 3$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, 3)$ .

Giảm trên $(0, 3)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 9

Thay một giá trị từ khoảng $(3, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = - \frac{9}{{(4)}^{2}} + 1$

Bước 9.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (4) = - \frac{9}{16} + 1$

Bước 9.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (4) = - \frac{9}{16} + \frac{16}{16}$

Bước 9.2.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (4) = \frac{- 9 + 16}{16}$

Bước 9.2.2.3

Cộng $- 9$ và $16$ .

$f' (4) = \frac{7}{16}$

Bước 9.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{7}{16}$ .

$\frac{7}{16}$

Bước 9.3

Tại $x = 4$ đạo hàm là $\frac{7}{16}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(3, \infty)$ .

Tăng trên $(3, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 10

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, - 3), (3, \infty)$

Giảm trên: $(- 3, 0), (0, 3)$

Bước 11