Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{3} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 1.1.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 1.1.2.4

Kết hợp $\frac{3}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 1.1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 1.1.2.5.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 1.1.4.3

Nhân $9$ với $1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 1.1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Vì $20$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $20$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + 0$

Bước 1.1.5.2

Cộng $x^{2} - 6 x + 9$ và $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{2} - 6 x + 9$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Bước 2.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Bước 2.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Bước 2.2.3

Viết lại đa thức này.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Bước 2.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Bước 2.3

Đặt $x - 3$ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 2.4

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $3$ .

$3$

Bước 4

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 3)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (2) = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Bước 5.2.1.2

Nhân $- 6$ với $2$ .

$f' (2) = 4 - 12 + 9$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Trừ $12$ khỏi $4$ .

$f' (2) = - 8 + 9$

Bước 5.2.2.2

Cộng $- 8$ và $9$ .

$f' (2) = 1$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 5.3

Tại $x = 2$ đạo hàm là $1$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, 3)$ .

Tăng trên $(- \infty, 3)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(3, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 9$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (4) = 16 - 6 \cdot 4 + 9$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 6$ với $4$ .

$f' (4) = 16 - 24 + 9$

Bước 6.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Trừ $24$ khỏi $16$ .

$f' (4) = - 8 + 9$

Bước 6.2.2.2

Cộng $- 8$ và $9$ .

$f' (4) = 1$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 6.3

Tại $x = 4$ đạo hàm là $1$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(3, \infty)$ .

Tăng trên $(3, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Bước 8