Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 - x}$ ở dạng ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 4 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Bước 1.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Bước 1.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Bước 1.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Bước 1.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Bước 1.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Bước 1.1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Bước 1.1.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Bước 1.1.7.3

Di chuyển ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Bước 1.1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 1.1.9

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 1.1.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 1.1.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Bước 1.1.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Bước 1.1.13

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.13.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Bước 1.1.13.2

Kết hợp $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.13.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$1 = 0$

Bước 2.3

Vì $1 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 3

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(4 - x)}^{1}}}$

Bước 4.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$- \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$

Bước 4.2

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$2 \sqrt{4 - x} = 0$

Bước 4.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(2 \sqrt{4 - x})}^{2} = 0^{2}$

Bước 4.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 - x}$ ở dạng ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Rút gọn ${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 4.3.2.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 4.3.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 4.3.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 4.3.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$4 {(4 - x)}^{1} = 0^{2}$

Bước 4.3.2.2.1.4

Rút gọn.

$4 (4 - x) = 0^{2}$

Bước 4.3.2.2.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) = 0^{2}$

Bước 4.3.2.2.1.6

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.6.1

Nhân $4$ với $4$ .

$16 + 4 (- x) = 0^{2}$

Bước 4.3.2.2.1.6.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$16 - 4 x = 0^{2}$

Bước 4.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$16 - 4 x = 0$

Bước 4.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 x = - 16$

Bước 4.3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- 4 x = - 16$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 x = - 16$ cho $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Bước 4.3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Bước 4.3.3.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 4}$

Bước 4.3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.3.1

Chia $- 16$ cho $- 4$ .

$x = 4$

Bước 4.4

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{4 - x}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$4 - x < 0$

Bước 4.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x < - 4$

Bước 4.5.2

Chia mỗi số hạng trong $- x < - 4$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x < - 4$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

Bước 4.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

Bước 4.5.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x > \frac{- 4}{- 1}$

Bước 4.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.3.1

Chia $- 4$ cho $- 1$ .

$x > 4$

Bước 4.6

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \sqrt{4 - x}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 4)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - (3))}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2.1.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2}$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Bước 6.3

Tại $x = 3$ đạo hàm là $- \frac{1}{2}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 4)$ .

Giảm trên $(- \infty, 4)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(4, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $5$ trong biểu thức.

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - (5))}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.2.1.2

Trừ $5$ khỏi $4$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.2.1.3

Viết lại ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Bước 7.2.1.4

Tính số mũ.

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Bước 7.2.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 i}$

Bước 7.2.2

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{1}{2 i}$ với liên hợp của $2 i$ để biến mẫu số thành số thực.

$f' (5) = - (\frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i})$

Bước 7.2.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Kết hợp.

$f' (5) = - \frac{1 i}{2 i i}$

Bước 7.2.3.2

Nhân $i$ với $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 i i}$

Bước 7.2.3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.3.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Bước 7.2.3.3.2

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Bước 7.2.3.3.3

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Bước 7.2.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

Bước 7.2.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{2}}$

Bước 7.2.3.3.6

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 \cdot - 1}$

Bước 7.2.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{- 2}$

Bước 7.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (5) = \frac{i}{2}$

Bước 7.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{i}{2}$ .

$\frac{i}{2}$

Bước 7.3

Tại $x = 5$ đạo hàm là $\frac{i}{2}$ . Vì phần này chứa một số ảo, nên hàm số không tồn tại trên $(4, \infty)$ .

Hàm số không thực sự trên $(4, \infty)$ vì $f' (x)$ là ảo

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Giảm trên: $(- \infty, 4)$

Bước 9