Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{5}{x + 5}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5}{x + 5}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$

Bước 1.1.1.2

Viết lại $\frac{1}{x + 5}$ ở dạng ${(x + 5)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- 1}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 5$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 5$ .

$5 (- {(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 5 ({(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Bước 1.1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 1.1.3.4

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Bước 1.1.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} \cdot 1$

Bước 1.1.3.5.2

Nhân $- 5$ với $1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$5 = 0$

Bước 2.3

Vì $5 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 3

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x + 5)}^{2} = 0$

Bước 4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đặt $x + 5$ bằng $0$ .

$x + 5 = 0$

Bước 4.2.2

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 5$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \frac{5}{x + 5}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ .

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 5)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 6$ trong biểu thức.

$f' (- 6) = - \frac{5}{{((- 6) + 5)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Cộng $- 6$ và $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{1}$

Bước 6.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia $5$ cho $1$ .

$f' (- 6) = - 1 \cdot 5$

Bước 6.2.2.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f' (- 6) = - 5$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 5$ .

$- 5$

Bước 6.3

Tại $x = - 6$ đạo hàm là $- 5$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, - 5)$ .

Giảm trên $(- \infty, - 5)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 5, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f' (- 4) = - \frac{5}{{((- 4) + 5)}^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Cộng $- 4$ và $5$ .

$f' (- 4) = - \frac{5}{1^{2}}$

Bước 7.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (- 4) = - \frac{5}{1}$

Bước 7.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Chia $5$ cho $1$ .

$f' (- 4) = - 1 \cdot 5$

Bước 7.2.2.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f' (- 4) = - 5$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 5$ .

$- 5$

Bước 7.3

Tại $x = - 4$ đạo hàm là $- 5$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- 5, \infty)$ .

Giảm trên $(- 5, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Giảm trên: $(- \infty, - 5), (- 5, \infty)$

Bước 9