Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x}{1 - x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Nhân $1 - x$ với $1$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1 - x - x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.1.2.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.1.2.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1 - x + x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.1.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1 - x + x \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.1.2.9

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.9.1

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1 - x + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.1.2.9.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.1.2.9.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.9.3.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.1.2.9.3.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$1 = 0$

Bước 2.3

Vì $1 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 3

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(- x + 1)}^{2} = 0$

Bước 4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

${(- (x) + 1)}^{2} = 0$

Bước 4.2.1.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

Bước 4.2.1.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 1)$ .

${(- (x - 1))}^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- (x - 1)$ .

${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Bước 4.2.2

Chia mỗi số hạng trong ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ cho ${(- 1)}^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ cho ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(- 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Bước 4.2.2.2.1.2

Chia ${(x - 1)}^{2}$ cho $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Bước 4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.3.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{1}$

Bước 4.2.2.3.2

Chia $0$ cho $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Bước 4.2.3

Đặt $x - 1$ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 4.2.4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \frac{x}{1 - x}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = \frac{1}{{(- (0) + 1)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Bước 6.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Bước 6.2.2

Chia $1$ cho $1$ .

$f' (0) = 1$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 6.3

Tại $x = 0$ đạo hàm là $1$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, 1)$ .

Tăng trên $(- \infty, 1)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(1, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = \frac{1}{{(- (2) + 1)}^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 2 + 1)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2

Cộng $- 2$ và $1$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Bước 7.2.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{1}$

Bước 7.2.2

Chia $1$ cho $1$ .

$f' (2) = 1$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 7.3

Tại $x = 2$ đạo hàm là $1$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(1, \infty)$ .

Tăng trên $(1, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

Bước 9