Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x + 3 x^{2} - x^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 3 x^{2} - x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.1.2.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$4 + 6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 + 6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 + 6 x - (3 x^{2})$

Bước 1.1.4.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$4 + 6 x - 3 x^{2}$

Bước 1.1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 4$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 3 x^{2} + 6 x + 4$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Bước 2.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.3

Thay các giá trị $a = - 3$ , $b = 6$ , và $c = 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 4)}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.4.1.2.2

Nhân $12$ với $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.4.1.3

Cộng $36$ và $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.4.1.4

Viết lại $84$ ở dạng $2^{2} \cdot 21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.4.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.4.2

Nhân $2$ với $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Bước 2.4.3

Rút gọn $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Bước 2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.5.1.2.2

Nhân $12$ với $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.5.1.3

Cộng $36$ và $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.5.1.4

Viết lại $84$ ở dạng $2^{2} \cdot 21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.5.2

Nhân $2$ với $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Bước 2.5.3

Rút gọn $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Bước 2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.6.1.2.2

Nhân $12$ với $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.6.1.3

Cộng $36$ và $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.6.1.4

Viết lại $84$ ở dạng $2^{2} \cdot 21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Bước 2.6.2

Nhân $2$ với $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Bước 2.6.3

Rút gọn $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Bước 2.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Bước 2.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1.52752525$ trong biểu thức.

$f' (- 1.52752525) = - 3 {(- 1.52752525)}^{2} + 6 (- 1.52752525) + 4$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 1.52752525$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1.52752525) = - 3 \cdot 2.33333338 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Bước 5.2.1.2

Nhân $- 3$ với $2.33333338$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Bước 5.2.1.3

Nhân $6$ với $- 1.52752525$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 - 9.1651515 + 4$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Trừ $9.1651515$ khỏi $- 7.00000016$ .

$f' (- 1.52752525) = - 16.16515166 + 4$

Bước 5.2.2.2

Cộng $- 16.16515166$ và $4$ .

$f' (- 1.52752525) = - 12.16515166$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 12.16515166$ .

$- 12.16515166$

Bước 5.3

Tại $x = - 1.52752525$ đạo hàm là $- 12.16515166$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ .

Giảm trên $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ vì $f' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.99999997$ trong biểu thức.

$f' (0.99999997) = - 3 {(0.99999997)}^{2} + 6 (0.99999997) + 4$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $0.99999997$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (0.99999997) = - 3 \cdot 0.99999995 + 6 (0.99999997) + 4$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 3$ với $0.99999995$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 6 (0.99999997) + 4$

Bước 6.2.1.3

Nhân $6$ với $0.99999997$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 5.99999985 + 4$

Bước 6.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Cộng $- 2.99999985$ và $5.99999985$ .

$f' (0.99999997) = 3 + 4$

Bước 6.2.2.2

Cộng $3$ và $4$ .

$f' (0.99999997) = 7$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $7$ .

$7$

Bước 6.3

Tại $x = 0.99999997$ đạo hàm là $7$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ .

Tăng trên $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $3.5275252$ trong biểu thức.

$f' (3.5275252) = - 3 {(3.5275252)}^{2} + 6 (3.5275252) + 4$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $3.5275252$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (3.5275252) = - 3 \cdot 12.44343403 + 6 (3.5275252) + 4$

Bước 7.2.1.2

Nhân $- 3$ với $12.44343403$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 6 (3.5275252) + 4$

Bước 7.2.1.3

Nhân $6$ với $3.5275252$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 21.1651512 + 4$

Bước 7.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Cộng $- 37.3303021$ và $21.1651512$ .

$f' (3.5275252) = - 16.1651509 + 4$

Bước 7.2.2.2

Cộng $- 16.1651509$ và $4$ .

$f' (3.5275252) = - 12.1651509$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 12.1651509$ .

$- 12.1651509$

Bước 7.3

Tại $x = 3.5275252$ đạo hàm là $- 12.1651509$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Giảm trên $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$

Giảm trên: $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}), (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Bước 9