Giải tích Ví dụ

$y = {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{7}$ và $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Bước 1.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 1$ và $g (x) = x - 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3.4.2

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3.8.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3.8.3

Kết hợp $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ và $7$ .

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 7}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

Bước 1.1.3.8.4

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x - 1 - (x + 1)$ .

$\frac{7 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{7 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 1 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.1.4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.4.1

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\frac{7 x - 7 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.1.4.4.2

Nhân $- 1$ với $7$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.1.4.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.1.4.4.4

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.1.4.4.5

Trừ $7 x$ khỏi $7 x$ .

$\frac{0 - 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.1.4.4.6

Trừ $7$ khỏi $0$ .

$\frac{- 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.1.4.4.7

Trừ $7$ khỏi $- 7$ .

$\frac{- 14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.1.4.4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.1.4.4.9

Nhân $\frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$ với $\frac{14}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6} {(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.1.4.4.10

Nhân ${(x - 1)}^{6}$ với ${(x - 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.4.10.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6 + 2}}$

Bước 1.1.4.4.10.2

Cộng $6$ và $2$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{8}}$

Bước 1.1.4.4.11

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của ${(x + 1)}^{6}$ .

$f' (x) = - \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ .

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ cho $14$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ cho $14$ .

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $14$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

Bước 2.3.1.2.1.2

Chia ${(x + 1)}^{6}$ cho $1$ .

${(x + 1)}^{6} = \frac{0}{14}$

Bước 2.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Chia $0$ cho $14$ .

${(x + 1)}^{6} = 0$

Bước 2.3.2

Đặt $x + 1$ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 2.3.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 1)}^{8} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đặt $x - 1$ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 3.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 4

Tính ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

${(\frac{(- 1) + 1}{(- 1) - 1})}^{7}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

${(\frac{0}{- 1 - 1})}^{7}$

Bước 4.1.2.2

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

${(\frac{0}{- 2})}^{7}$

Bước 4.1.2.3

Chia $0$ cho $- 2$ .

$0^{7}$

Bước 4.1.2.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $1$ bằng $x$ .

${(\frac{(1) + 1}{(1) - 1})}^{7}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

${(\frac{(1) + 1}{0})}^{7}$

Bước 4.2.2.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 1, 0)$

Bước 5