Giải tích Ví dụ

$y = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

Bước 1

Viết $y = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = x - 4$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.1.2.3

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.1.2.4.2

Nhân $x^{\frac{1}{3}}$ với $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Bước 2.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 2.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 2.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 2.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Bước 2.1.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Bước 2.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Bước 2.1.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Bước 2.1.9

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2.2

Di chuyển $x^{\frac{2}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2.3

Nhân $x$ với $x^{- \frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.2.3.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.2.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2.3.4

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2.4

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2.6

Để viết $x^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2.7

Kết hợp $x^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.10.2.10

Cộng $3 x^{\frac{1}{3}}$ và $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Vì $\frac{4}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2.2.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2.2.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2.2.9

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2.2.10

Nhân $3$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2.2.11

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $- \frac{4}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ đối với $x$ là $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.2.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Bước 2.2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Bước 2.2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2.2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 2.2.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 2.2.3.5.2

Nhân $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.5.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 2.2.3.5.2.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 2.2.3.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 2.2.3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Bước 2.2.3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Bước 2.2.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Bước 2.2.3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Bước 2.2.3.9.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Bước 2.2.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Bước 2.2.3.11

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Bước 2.2.3.12

Kết hợp $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ và $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Bước 2.2.3.13

Nhân $x^{- \frac{1}{3}}$ với $x^{- \frac{4}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.13.1

Di chuyển $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Bước 2.2.3.13.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Bước 2.2.3.13.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Bước 2.2.3.13.4

Trừ $1$ khỏi $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Bước 2.2.3.13.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Bước 2.2.3.14

Di chuyển $x^{- \frac{5}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Bước 2.2.3.15

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Bước 2.2.3.16

Nhân $\frac{4}{3}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Bước 2.2.3.17

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Bước 2.2.3.18

Nhân $4$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Bước 2.2.3.19

Nhân $3$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Bước 3.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$

Bước 3.2.2

Since $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ .

Bước 3.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 3.2.4

$9$ có các thừa số là $3$ và $3$ .

$3 \cdot 3$

Bước 3.2.5

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 3.2.6

BCNN của $9, 9, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$3 \cdot 3$

Bước 3.2.7

Nhân $3$ với $3$ .

$9$

Bước 3.2.8

BCNN của $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x^{\frac{5}{3}}$

Bước 3.2.9

BCNN cho $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ là phần số $9$ nhân với phần biến.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Bước 3.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ với $9 x^{\frac{5}{3}}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ với $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1

Đưa $x^{\frac{2}{3}}$ ra ngoài $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.2.1.4

Chia $3$ cho $3$ .

$4 x^{1} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.2.1.5

Rút gọn.

$4 x + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.2.1.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 x + 9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.2.1.7

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 x + 9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.2.1.7.2

Viết lại biểu thức.

$4 x + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.2.1.8

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{5}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 x + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.2.1.8.2

Viết lại biểu thức.

$4 x + 8 = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Nhân $9$ với $0$ .

$4 x + 8 = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Bước 3.3.3.1.2

Nhân $0$ với $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 x + 8 = 0$

Bước 3.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x = - 8$

Bước 3.4.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x = - 8$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = - 8$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Bước 3.4.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Bước 3.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1

Chia $- 8$ cho $4$ .

$x = - 2$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $- 2$ trong $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = {(- 2)}^{\frac{1}{3}} ((- 2) - 4)$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Trừ $4$ khỏi $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 6$

Bước 4.1.2.2

Di chuyển $- 6$ sang phía bên trái của ${(- 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- 2) = - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$- 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 2$ trong $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ là $(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 2)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 2.1) = \frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Để viết $\frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nhân $\frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}}$ với $\frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}} {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2.2.2

Nhân ${(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}$ với ${(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Di chuyển ${(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2.2.2.4

Cộng $3$ và $2$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 (- 2.1) + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Tính số mũ.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 \cdot - 2.1 + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2.4.2

Nhân $4$ với $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 8.4 + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2.4.3

Cộng $- 8.4$ và $8$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (- 2.1) = - \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 6.3

Tại $- 2.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.01290581$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty, - 2)$ .

Tăng trên $(- \infty, - 2)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 2, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1.9$ trong biểu thức.

$f'' (- 1.9) = \frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Để viết $\frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.2.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nhân $\frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}}$ với $\frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}} {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.2.2.2

Nhân ${(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}$ với ${(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Di chuyển ${(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.2.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.2.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.2.2.2.4

Cộng $3$ và $2$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.2.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 (- 1.9) + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Tính số mũ.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 \cdot - 1.9 + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.2.4.2

Nhân $4$ với $- 1.9$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{- 7.6 + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.2.4.3

Cộng $- 7.6$ và $8$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 7.3

Tại $- 1.9$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.01524853$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- 2, \infty)$

Giảm trên $(- 2, \infty)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$

Bước 9