Giải tích Ví dụ

$y = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Bước 1

Viết $y = x - 4 \ln (3 x - 4)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4 \ln (3 x - 4)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Bước 2.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 \ln (3 x - 4)$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 3 x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Bước 2.1.2.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Bước 2.1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Bước 2.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Bước 2.1.2.4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Bước 2.1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Bước 2.1.2.6

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + 0))$

Bước 2.1.2.7

Nhân $3$ với $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 + 0))$

Bước 2.1.2.8

Cộng $3$ và $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \cdot 3)$

Bước 2.1.2.9

Kết hợp $\frac{1}{3 x - 4}$ và $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 4}$

Bước 2.1.2.10

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{3 x - 4}$ .

$1 + \frac{- 4 \cdot 3}{3 x - 4}$

Bước 2.1.2.11

Nhân $- 4$ với $3$ .

$1 + \frac{- 12}{3 x - 4}$

Bước 2.1.2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 - \frac{12}{3 x - 4}$

Bước 2.1.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{12}{3 x - 4}$

Bước 2.1.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 x - 4 - 12}{3 x - 4}$

Bước 2.1.3.3

Trừ $12$ khỏi $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$3 x - 16 = 0$

Bước 3.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Cộng $16$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x = 16$

Bước 3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 16$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 16$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Bước 3.3.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{16}{3}$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{16}{3}$ .

$\frac{16}{3}$

Bước 5

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt mẫu số trong $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$3 x - 4 = 0$

Bước 5.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x = 4$

Bước 5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 4$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 4$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Bước 5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Bước 5.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Bước 6

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \frac{16}{3}) \cup (\frac{16}{3}, \infty)$

Bước 7

Loại bỏ các khoảng không nằm trong tập xác định.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(1.3333334, \frac{16}{3})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $3.33333345$ trong biểu thức.

$f' (3.33333345) = \frac{3 (3.33333345) - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nhân $3$ với $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{10.00000035 - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Bước 8.2.1.2

Trừ $16$ khỏi $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{3 (3.33333345) - 4}$

Bước 8.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Nhân $3$ với $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{10.00000035 - 4}$

Bước 8.2.2.2

Trừ $4$ khỏi $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{6.00000035}$

Bước 8.2.3

Chia $- 5.99999965$ cho $6.00000035$ .

$f' (3.33333345) = - 0.99999988$

Bước 8.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.99999988$ .

$- 0.99999988$

Bước 8.3

Tại $x = 3.33333345$ đạo hàm là $- 0.99999988$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(1.3333334, \frac{16}{3})$ .

Giảm trên $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$ vì $f' (x) < 0$

Bước 9

Loại bỏ các khoảng không nằm trong tập xác định.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3}), (\frac{16}{3}, \infty)$

Bước 10

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{16}{3}, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế biến $x$ bằng $6.3333335$ trong biểu thức.

$f' (6.3333335) = \frac{3 (6.3333335) - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Bước 10.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Nhân $3$ với $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{19.0000005 - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Bước 10.2.1.2

Trừ $16$ khỏi $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{3 (6.3333335) - 4}$

Bước 10.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Nhân $3$ với $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{19.0000005 - 4}$

Bước 10.2.2.2

Trừ $4$ khỏi $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{15.0000005}$

Bước 10.2.3

Chia $3.0000005$ cho $15.0000005$ .

$f' (6.3333335) = 0.20000002$

Bước 10.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0.20000002$ .

$0.20000002$

Bước 10.3

Tại $x = 6.3333335$ đạo hàm là $0.20000002$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(\frac{16}{3}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{16}{3}, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 11

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(\frac{16}{3}, \infty)$

Giảm trên: $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Bước 12