Giải tích Ví dụ

$y = x^{3}$

Bước 1

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}$

Bước 2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3}$

Bước 2.2.2

Di chuyển $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3}$

Bước 2.2.3

Di chuyển $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3}$

Bước 2.2.4

Di chuyển $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3}$

Bước 2.2.5

Sắp xếp lại $3 h^{2} x$ và $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3}$

Bước 2.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3}$

$f (x) = x^{3}$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3}$

$f (x) = x^{3}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - (x^{3})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Trừ $x^{3}$ khỏi $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

Bước 4.1.2

Cộng $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.3

Đưa $h$ ra ngoài $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.3.2

Đưa $h$ ra ngoài $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.3.3

Đưa $h$ ra ngoài $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Bước 4.1.3.4

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Bước 4.1.3.5

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Bước 4.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Bước 4.2.1.2

Chia $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ cho $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

Bước 4.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Di chuyển $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

Bước 4.2.2.2

Di chuyển $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

Bước 4.2.2.3

Sắp xếp lại $3 x h$ và $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Bước 6

Tính giới hạn của $3 x^{2}$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Bước 7

Chuyển số hạng $3 x$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Bước 8

Đưa số mũ $2$ từ $h^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Bước 9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nhân $3 x \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.1

Nhân $0$ với $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

Bước 10.1.1.2

Nhân $0$ với $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

Bước 10.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Bước 10.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x^{2} + 0 + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 10.2.2

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 11