Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} - 1$

Bước 1

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 1$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Viết lại ${(x + h)}^{2}$ ở dạng $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 1$

Bước 2.1.2.1.2

Khai triển $(x + h) (x + h)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 1$

Bước 2.1.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 1$

Bước 2.1.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 1$

Bước 2.1.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 1$

Bước 2.1.2.1.3.1.2

Nhân $h$ với $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 1$

Bước 2.1.2.1.3.2

Cộng $x h$ và $h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.3.2.1

Sắp xếp lại $x$ và $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 1$

Bước 2.1.2.1.3.2.2

Cộng $h x$ và $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 1$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 1$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 1$

Bước 2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 1$

Bước 2.2.2

Sắp xếp lại $2 h x$ và $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1$

Bước 2.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1$

$f (x) = x^{2} - 1$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1$

$f (x) = x^{2} - 1$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1 - (x^{2} - 1)}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1 - x^{2} + 1}{h}$

Bước 4.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1 - x^{2} + 1}{h}$

Bước 4.1.3

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0 - 1 + 1}{h}$

Bước 4.1.4

Cộng $h^{2}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 1 + 1}{h}$

Bước 4.1.5

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Bước 4.1.6

Cộng $h^{2} + 2 h x$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

Bước 4.1.7

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2} + 2 h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

Bước 4.1.7.2

Đưa $h$ ra ngoài $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

Bước 4.1.7.3

Đưa $h$ ra ngoài $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Bước 4.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Bước 4.2.1.2

Chia $h + 2 x$ cho $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x$

Bước 4.2.2

Sắp xếp lại $h$ và $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Bước 5.2

Tính giới hạn của $2 x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h$

Bước 6

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$2 x + 0$

Bước 7

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 8