Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{3} + 1$ , $[2, 3]$

Bước 1

Tìm đạo hàm của $f (x) = x^{3} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 1.1.4

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

$f' (x)$ liên tục trên $[2, 3]$ .

$f' (x)$ là liên tục

Bước 4

Giá trị trung bình của hàm số $f'$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\int_{2}^{3} 3 x^{2} d x)$

Bước 6

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 \int_{2}^{3} x^{2} d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}))$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}))$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $3$ và tại $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}))$

Bước 8.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Bước 8.2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}))$

Bước 8.2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Bước 8.2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Bước 8.2.2.2.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{2^{3}}{3}))$

Bước 8.2.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{8}{3}))$

Bước 8.2.2.4

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}))$

Bước 8.2.2.5

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}))$

Bước 8.2.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3 - 8}{3}))$

Bước 8.2.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.7.1

Nhân $9$ với $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27 - 8}{3}))$

Bước 8.2.2.7.2

Trừ $8$ khỏi $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{19}{3}))$

Bước 8.2.2.8

Kết hợp $3$ và $\frac{19}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Bước 8.2.2.9

Nhân $3$ với $19$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{57}{3})$

Bước 8.2.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $57$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $57$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Bước 8.2.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 (1)})$

Bước 8.2.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1})$

Bước 8.2.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{19}{1})$

Bước 8.2.2.10.2.4

Chia $19$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (19)$

Bước 9

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Bước 10

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Bước 10.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = 1 \cdot 19$

Bước 11

Nhân $19$ với $1$ .

$A (x) = 19$

Bước 12