Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Bước 1

Tìm đạo hàm của $f (x) = 2 \sqrt{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 1.1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 1.1.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 1.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 1.1.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.1.10

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.1.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.12

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.13

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f' (x)$ có liên tục trên $[4, 9]$ không, hãy tìm tập xác định của $f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}}$

Bước 2.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

Bước 2.2

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x \geq 0$

Bước 2.3

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{\sqrt{x}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{x} = 0$

Bước 2.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Bước 2.4.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 2.4.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 2.4.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = 0^{2}$

Bước 2.4.2.2.1.2

Rút gọn.

$x = 0^{2}$

Bước 2.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > 0}$

Bước 3

$f' (x)$ liên tục trên $[4, 9]$ .

$f' (x)$ là liên tục

Bước 4

Giá trị trung bình của hàm số $f'$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Bước 6.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Bước 6.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Bước 6.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 x^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $2 x^{\frac{1}{2}}$ tại $9$ và tại $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2.4

Tính số mũ.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2.5

Nhân $2$ với $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2.6

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2.7

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Bước 8.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Bước 8.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

Bước 8.2.9

Tính số mũ.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

Bước 8.2.10

Nhân $- 2$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 4)$

Bước 8.2.11

Trừ $4$ khỏi $6$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2)$

Bước 9

Trừ $4$ khỏi $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 2$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $2$ .

$A (x) = \frac{2}{5}$

Bước 11